Question

si 2cosx+3tany=1+6cosx.tany, halle el valor de M=Tan(2y+3°)tan(x-10°), siendo x e y angulo agudo.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Triángulos Notables

$\textbf{Problema :}$

Si se tiene que:

$2 \cos (x) +3 \textrm{tan} (y) = 1 + 6 \cos(x) \textrm{tan} (y)$

Halle el valor de $\textrm{M}$, tal que:

$\textrm{M} = \textrm{tan} (2y+3) \textrm{tan} (x-10)$

Además $x$ e $y$ son ángulos agudos

RESOLUCIÓN

Partamos del dato inicial y realicemos lo siguiente:

$2 \cos (x) +3 \textrm{tan} (y) = 1 + 6 \cos(x) \textrm{tan} (y) \\ \\ 2 \cos (x) - 6 \cos(x) \textrm{tan} (y) + 3 \textrm{tan} (y) - 1 = 0$

Factorizamos...

$2 \cos (x) \times (1 - 3 \textrm{tan} (y)) - (1 - 3 \textrm{tan} (y)) = 0 \\ \\ (1 - 3 \textrm{tan} (y)) \times (2 \cos(x) - 1) = 0$

Con lo cual obtenemos

$\cos (x) = \dfrac{1}{2} \wedge \textrm{tan} (y) = \dfrac{1}{3}$

Entonces para obtener el valor del ángulo $x$, siendo $x$ agudo, usamos el triángulo notable de $30$ y $60$, con lo cual $x = 60$, de manera análoga se obtiene el valor del ángulo $y$ usando el triángulo notable aproximado de $37/2$, con lo cual $y = \dfrac{37}{2}$.

Nota

El triángulo notable de $37/2$ no es muy conocido por lo que te dejare una imagen de dicho triángulo

Entonces nos piden el valor de $\textrm{M}$

$\textrm{M} = \textrm{tan} (2y+3) \textrm{tan} (x-10) \\ \\ \textrm{M} = \textrm{tan} (2 \left( \dfrac{37}{2} \right)+3) \times \textrm{tan} (60-10)$

$\textrm{M} = \textrm{tan} (40) \times \textrm{tan} (50) \\ \\ \boxed{\textrm{tan}(40) = \textrm{cot}(50)} \\ \\ \textrm{M} = \textrm{cot}(50) \times \textrm{tan} (50) \\ \\ \textrm{M} = 1$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El valor de M es igual a}\ 1}$