Un gran estanque es abastecido de peces. La población P de peces está modelada con la fórmula P = 3t + 10√t + 140, donde t es el número de días desde que los peces fueron introducidos en el estanque. ¿Cuántos días tardará las población de peces en llegar a 500?
Respuestas
⭐Respuesta: A los 89 días ya habrán 500 peces
Explicación paso a paso:
Claramente debemos partir de la expresión del modelo matemático:
P = 3t + 10√t + 140, donde t es el número de días
Donde bien es sabido que la variable independiente t indica el tiempo y P es la dependiente, indicando la población de peces.
En este caso nos piden determinar la cantidad de días que se tardará en alcanzar una población de 500 peces en el estanque, por lo tanto sustituimos P = 500:
500 = 3t + 10√t + 140
500 - 3t = 10√t + 140
500 - 140 - 3t = 10√t
360 - 3t = 10√t
(360 - 3t)/10 = 10√t
36 - 3t/10 = √t
(36 - 3t/10)² = (√t)²
36² - 2 · 36 · 3t/10 + (3t/10)² = t
1296 - 108/5t + 9/100t² = t
9/100t² - 108/5t - t + 1296 = 0
Se obtiene la ecuación de segundo grado:
9/100t² - 113/5t + 1296 = 0
Con: a = 9/100 , b = -113/5 , c = 1296
Aproximamos por exceso a 89 días
Comprobación:
P = 3 × 89 + 10√89 + 140
P = 501.34 días
Tarea
Un gran estanque es abastecido de peces. La población P de peces está modelada con la fórmula P = 3t + 10√t + 140, donde t es el número de días desde que los peces fueron introducidos en el estanque. ¿Cuántos días tardará las población de peces en llegar a 500?
Hola!!!
Datos:
P = Población de peces
t = Numero de días que tiene la población de peces
Ecuación que modela: P = 3t + 10√t + 140
P = 500
Planteamos y resolvemos:
500 = 3t + 10√t + 140
500 - 140 = 3t + 10√t
360 -3t = 10√t
(360 - 3t)/10 = √t
36 - 3t/10 = √t
36 - 0,3t = √t
Elevo ambos miembros de la igualdad para eliminar la Raíz:
(36 - 0,3t)² = (√t)²
36² - 2×36×0,3t + (0,3t)² = (√t)² Simplificamos
1296 - 21,6t + 0,09t² = t
0,09t² + 1296 - 21,6t - t = 0
0,09t² - 22,6t + 1296 = 0
Resolvemos la Ecuación de Segundo grado por la Formula General:
t = (-b ± √ b² -4×a×c)/2×a
a = 0,09 ; b = -22,6 ; c = 1296
t = (22,6 ± √-22,6² -4×0,09×1296)/2×0,09
t = (22,6 ± √44,2)/0,18
t = (22,6 ± 6,65)/0,18
t₁ = (22,6 + 6,65)/0,18
t₁ = 162,5
t₂ = (22,6 - 6,65)/0,18
t₂ = 88,6
A los 89 días su población llegara a 500 peces, pero también a los 163 días nuevamente la población de peces será de 500.
Si trazamos una recta en y = 500, esta corta a la grafica de la función que modela la Población de peces (Parábola) en 2 puntos (ver esquema grafico en archivo adjunto). Debemos verificar para ver cual o si los 2 puntos Verifican:
Ecuación Original: 500 = 3t + 10√t + 140
t₁ = 89 ; t₂ = 163
Sustituimos t₁:
500 = 3(89) + 10√89 + 140
500 = 500 Verifica con t₁ = 89 días
Sustituimos t₂ = 163
500 = 3(163) + 10√163 + 140
500 = 757 NO Verifica
A los 89 días la Población de Peces es de 500
Saludos!!!
