Question

resuelva la ecuación para la variable x , las constantes a y b representan números reales positivos.
$\sqrt{x} -a \sqrt[3]{x} + b \sqrt[6]{x} - ab = 0$

Answer 1

PREGUNTA

Resuelva la ecuación para la variable x , las constantes a y b representan números reales positivos.

$\sqrt{x}-a \sqrt[3]{x} +b\sqrt[6]{x}-ab =0$

SOLUCIÓN

Hola!! :D

Realizaremos el cambio de variable $x = u^6$ para eliminar las raíces

                              $\sqrt{x}-a \sqrt[3]{x} +b\sqrt[6]{x}-ab =0\\ \\\sqrt{u^{6}}-a \sqrt[3]{u^{6}} +b\sqrt[6]{u^{6}}-ab =0\\\\u^{3} - au^{2}+bu - ab=0\\\\Utilizamos\: Ruffini(Est\'a \:en\:la\:Imagen)\\\\(u-a)(u^{2}+b)=0\\\\u-a =0 \:\: \: o\:\: \:u^{2}+b=0\\\\\boxed{\boldsymbol{u = a}} \: \:o \:\: \boxed{ \boldsymbol{u = bi}} \:\:o \:\: \boxed{\boldsymbol{u = -bi}}$

Reemplazamos "u" por "x"

                              $*u=a \Rightarrow \sqrt[6]{x} = a \Rightarrow \boxed{\boldsymbol{x = a^{6}}}\\\\* u=bi \Rightarrow \sqrt[6]{x} = bi \Rightarrow \boxed{\boldsymbol{x = (bi)^{6}}}\\\\*u=-bi \Rightarrow \sqrt[6]{x} = -bi \Rightarrow \boxed{\boldsymbol{x = (-bi)^{6}}}$