Question

Encontrar tres numeros enteros consecutivos tales que la suma de los cubos de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero

Answer 1

x: primer número consecutivo
x+1: segundo número consecutivo
x+2: tercer número consecutivo
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Aplicamos la condicion dada:
$(x)^{3} + (x+1)^{3}=(x+2)^{2} \\x^{3} + x^{3}+3x^{2}+3x+1=x^{2}+4x+4\\x^{3} + x^{3}+3x^{2}+3x-x^{2}-4x-4+1=0\\2 x^{3}+2 x^{2} -x -3=0\\Aplicas.Rufini$

2     2     -1     -3    |
       2      4      3    |   1   
1     4      3     |  0  |
      -1     -3     |  -1 
1     3     |  0    |

asi tenemos : $(x-1)(x+1)(x+3)=0$
x-1=0     x+1=0     x+3=0
x=1        x= -1       x= -3

obtuvimos tres valores es decir que puede ser cualquiera de los tres veamos cuales serian los numero enteros consecutivos:

con x=1
1: primer número consecutivo
1+1=2: segundo número consecutivo
1+2=3: tercer número consecutivo
$1^{3} + 2^{3} = 3^{2} \\1+8=9\\9=9$
SI CUMPLE con x=1 los consecutivos son: 1,2,3
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con x= -1
-1: primer número consecutivo
-1+1=0: segundo número consecutivo
-1+2=1: tercer número consecutivo
$(-1)^{3} + 0^{3} = 1^{2} \\-1+0=1\\-1=1$
NO CUMPLE con x= -1 no tiene consecuivos OJO
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con x= -3
-3: primer número consecutivo
-3+1=-2: segundo número consecutivo
-3+2=-1: tercer número consecutivo
$(-3)^{3} + (-2)^{3} = (-1)^{2} \\-27-8=1\\-35=1$
NO CUMPLE con x= -3 no tiene consecuivos OJO
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Nota: los que no cumplen les hice para que veas cual es el proceso con los valores que salio para "x".

 los consecutivos son: 1,2,3

espero te sirva :)