Question

Ayuda para sacar la función inversa de la siguiente función a trozos.

Answer 1

Para hacer la función inversa, lo hacemos en dos partes, según las reglas de definición:
$y=\sqrt{1+x^2}$ Tenemos que despejar $x$:
$y^2=1+x^2\to x^2=\pm\sqrt{y^2-1}$
Ahora hacemos el estudio del recorrido de las variables, para ver si tomamos la parte positiva o la negativa.
Dado que la parte $y=\sqrt{1+x^2}$ se toma cuando $x\in (0,\infty)$, entonces, si $x=0\to y=\sqrt{1+0^2}=1$ y si $x\to \infty \Rightarrow y\to \sqrt{\infty^2-1}\to \infty$, es decir, que esta rama de la inversa se da en el intervalo $y\in(1, \infty)$, con lo que deberemos tomar la rama positiva.
Por otra parte, la otra definición de la función:
$y=-\sqrt{1+x^2}, x\in(-\infty, 0]$, calculamos la inversa de la misma forma, que es de nuevo $x=\pm\sqrt{y^2-1}$. Ahora debemos ver entre qué valores se mueve la variable $y$:
Si $x=-\infty\to y=-\infty$ y si $x=0\to y=-1$ con lo que la rama que debemos tomar es la rama negativa.
De ahí que la función inversa a $f$ es:
$f^{-1}(y)=\left \{ {{\sqrt{y^2-1}, \;\;y\ge1} \atop {-\sqrt{y^2-1},\;\;y\le -1 }} \right.$