Question

buenas noches me pueden ayudar con este problema de arimetica q no entiendo muy bien

Answer 1

Respuesta:

Ejercicio 1:  b+c=66

Ejercicio 2: "a" = 12

Ejercicio 3: El menor valor es "a"=4

Explicación paso a paso:

Son tres ejercicios de razones y proporciones. Ten presente que en una proporción o igualdad entre razones, el producto de medios es igual al producto de extremos.

Ejercicio 1:

$\frac{a}{3}=\frac{b}{7}$

despejamos "a" :

$7a=3b\\a=\frac{3b}{7}$

Ahora trabajamos con "c", para luego aprovechar la igualdad que nos da el problema, todo con fundamento en "b"

$\frac{b}{7}=\frac{c}{4}\\7c=4b\\\\c=\frac{4b}{7}$

Ahora que tenemos todo en relación con "b", aplicamos la igualdad:

a+b+c=84 reemplazamos:

$\frac{3b}{7}+b+\frac{4b}{7}=84$

realizamos la suma de fracciones. ponemos 1 debajo del entero y sacamos denominador común, luego, hacemos la suma:

$\frac{3b+7b+4b}{7}=84$

Pasamos el denominador a multiplicar al otro lado

$14b=588\\\\b=\frac{588}{14}=42$

Sabemos entonces que "b" vale 42. Aprovechamos las igualdades que hicimos para despejar "a" y "c"

$a=\frac{3b}{7}=\frac{3*42}{7}=\frac{126}{7}=18\\\\c=\frac{4b}{7}=\frac{4*42}{7}=\frac{168}{7}=24$

Como ya conocemos el valor de cada letra, podemos obtener la suma de b+c que nos piden en la pregunta: 42+24 = 66

Ejercicio 2

Tomamos la proporción $\frac{4}{a}=\frac{7}{b}$ y despejamos "b"

$4b=7a\\\\b=\frac{7a}{4}$

Ahora tomamos la proporción $\frac{4}{a}=\frac{8}{c}$

$4c=8a\\\\c=\frac{8a}{4}$

Ahora que tenemos "b" y "c", las reemplazamos en la igualdad que nos da el problema: bc=504

$\frac{7a}{4}*\frac{8a}{4}=504\\ \\\frac{56a^{2}}{16}=504\\\\56a^{2}=504*16\\56a^{2}=8064\\\\a^{2}=\frac{8064}{16}\\a^{2}=144\\a=\sqrt{144}\\a=12$

Ejercicio 3

Planteamos la proporción: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$

Planteamos también la igualdad: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=116$

Busquemos "a" y "c" usando las proporciones:

$3a=2b\\\\a=\frac{2b}{3}\\ \\4b=3c\\\\c=\frac{4b}{3}$

Reemplazamos "a" y "c" en la igualdad:

$(\frac{2b}{3})^{2}+b^{2}+(\frac{4b}{3})^{2}=116$

Recordamos que el exponente afecta tanto al numerador como al denominador:

$\frac{4b^{2}}{9}+b^{2}+\frac{16b^{2}}{9}=116$

Hacemos operaciones:

$\frac{4b^{2}+9b^{2}+16b^{2}}{9}=116\\\\\frac{29b^{2}}{9}=116\\\\29b^{2}=1044\\\\b^{2}=\frac{1044}{29}\\ b^{2}=36\\b=\sqrt{36}\\b=6$

Conocemos el valor de "b", podemos despejar los otros valores de las igualdades que configuramos:

$3a=2b\\3a=2*6\\a=\frac{12}{3}\\a=4$

Y finalmente: $c=\frac{4b}{3}\\\\c=\frac{4*6}{3}\\\\c=\frac{24}{3}\\\\c=8$

De los tres valores, a=4, b=6, c=8, el menor es "a"