Question

90 puntos la 14 y la 17

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Probabilidades

$\textbf{Problema 14 :}$

Calcula la probabilidad de que al elegir dos números de todos los números de dos cifras consecutivas crecientes, estos resulten ser números primos.

RESOLUCIÓN

$\textrm{Sea el n\'umero de dos cifras consecutivas crecientes:}\ \overline{a(a+1)}$

$\textrm{Sea A el conjunto de todos los n\'umeros de dos cifras consecutivas} \\ \textrm{crecientes}$

$\textrm{A} = \{ 12;\ 23;\ 34;\ 45;\ 56;\ 67;\ 78;\ 89 \}$

$\textrm{n} (\textrm{A}) = 8$

$\textrm{Sea \textrm{B} el conjunto de los n\'umeros primos que se encuentran en} \\ \textrm{los elementos A.} \\ \\ \textrm{B} \subset \textrm{A}$

$\textrm{B} = \{ 23;\ 67;\ 89 \}$

$\textrm{n} (\textrm{B}) = 3$

Con ayuda del Análisis Combinatorio hallemos todas las posibles agrupaciones de dos en dos de un grupo total de ocho números, sin importar el orden, a esto lo llamaremos espacio muestral $\boldsymbol{\Omega}$.

$\textrm{n} (\boldsymbol{\Omega}) = \textrm{C}^{8} _{2} = \dfrac{8!}{6! \times 2!} = 28$

Ahora hallemos los casos favorables $\boldsymbol{(\Psi)}$, tengamos en cuenta que de tres números primos queremos las agrupaciones de dos en dos, sin importar el orden

$\textrm{n} (\boldsymbol{\Psi}) = \textrm{C}^{3} _{2} = \dfrac{3!}{2! \times 1!} = 3$

La probabilidad es entonces:

$\textrm{P} = \dfrac{\textrm{n} (\boldsymbol{\Psi})}{\textrm{n} (\boldsymbol{\Omega})} = \dfrac{3}{28}$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La probabilidad es}\ \dfrac{3}{28}}$

$\textbf{Problema 17 :}$

En una caja hay 30 fichas enumeradas del 1 al 30. Halle la probabilidad de sacar 3 números, y que estos sean consecutivos.

RESOLUCIÓN

Hallemos inmediatamente los casos favorables.

$\boldsymbol{\Psi} = \{(1)(2)(3);\ (2)(3)(4);\ (3)(4)(5);\ (4)(5)(6);\ ...\ ;\ (28)(29)(30)\}$

$\textrm{n} (\boldsymbol{\Psi}) = 28$

Observación

Escribimos los elementos del conjunto $\boldsymbol{\Psi}$ de manera creciente meramente por elegancia e intuitividad, ya que el orden no importa; como por ejemplo podria escribirse de esta manera también: $\boldsymbol{\Psi} = \{(3)(2)(1);\ (3)(2)(4);\ (4)(3)(5);\ ...\ ;\ (29)(30)(28)\}$.

Hallemos entonces el cardinal del espacio muestral $\boldsymbol{\Omega}$ , siendo este todas las agrupaciones de tres en tres de un total de treinta fichas, sin importar el orden.

$\textrm{n} (\boldsymbol{\Omega}) = \textrm{C}^{30} _{3} = \dfrac{30!}{27! \times 3!} = 4060$

La probabilidad es entonces:

$\textrm{P} = \dfrac{\textrm{n} (\boldsymbol{\Psi})}{\textrm{n} (\boldsymbol{\Omega})} = \dfrac{28}{4060} = \dfrac{1}{145}$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La probabilidad es}\ \dfrac{1}{145}}$

Answer 2

¡Buenas!

Tema: Probabilidades

Calcula la probabilidad de que al elegir dos números de todos los números de dos cifras consecutivas crecientes, estos resulten ser números primos.

RESOLUCIÓN

Con ayuda del Análisis Combinatorio hallemos todas las posibles agrupaciones de dos en dos de un grupo total de ocho números, sin importar el orden, a esto lo llamaremos espacio muestral .

Ahora hallemos los casos favorables , tengamos en cuenta que de tres números primos queremos las agrupaciones de dos en dos, sin importar el orden

La probabilidad es entonces:

RESPUESTA

En una caja hay 30 fichas enumeradas del 1 al 30. Halle la probabilidad de sacar 3 números, y que estos sean consecutivos.

RESOLUCIÓN

Hallemos inmediatamente los casos favorables.

Observación

Escribimos los elementos del conjunto de manera creciente meramente por elegancia e intuitividad, ya que el orden no importa; como por ejemplo podria escribirse de esta manera también: .

Hallemos entonces el cardinal del espacio muestral , siendo este todas las agrupaciones de tres en tres de un total de treinta fichas, sin importar el orden.

La probabilidad es entonces: