Question

Ayúdame con eso de Álgebra.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Factorización

$\textbf{Problema 18 :}$

Determine la suma de los factores primos del polinomio:

$R_{(a,\ b,\ c)} = a(b-c)^{2} + b(c-a)^{2} + c(a-b)^{2} + 9abc$

RESOLUCIÓN

Desarrollemos el binomio al cuadrado.

$R_{(a,\ b,\ c)} = a(b-c)^{2} + b(c-a)^{2} + c(a-b)^{2} + 9abc \\ \\ R_{(a,\ b,\ c)} = a(b^{2}+c^{2}-2bc) + b(a^{2}+c^{2}-2ac) + c(a^{2}+b^{2} -2ab) +9abc$

Aplicamos la propiedad distributiva.

$R_{(a,\ b,\ c)} = ab^{2}+ac^{2} - 2abc + ba^{2}+bc^{2} -2abc + ca^{2}+cb^{2} - 2abc +9abc$

$R_{(a,\ b,\ c)} = ab^{2}+ac^{2} + ba^{2}+bc^{2} + ca^{2}+cb^{2} +3abc$

Reescribimos el polinomio $R_{(a,\ b,\ c)}$ de esta forma:

$R_{(a,\ b,\ c)} = ab^{2}+ ba^{2} + abc + bc^{2} + cb^{2} + abc + ca^{2} + ac^{2} + abc$

Factorizamos de la siguiente forma:

$R_{(a,\ b,\ c)} = ab(a+b+c) + bc(a+b+c) + ca(a+b+c)$

Factorizamos $a+b+c$

$R_{(a,\ b,\ c)} = ab(a+b+c) + bc(c+b+a) + ca(a+c+b) \\ \\ R_{(a,\ b,\ c)} = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

De esta manera el polinomio $R_{(a,\ b,\ c)}$ queda factorizado en sus factores primos, siendo la suma de sus factores primos:

$a+b+c+ab+bc+ca$

RESPUESTA

$\boxed{a(b+1) + b(c+1) +c(a+1)}$

$\textbf{Problema 19 :}$

Factorizar el polinomio $P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + 2x^{2} - 2x + 1$ e indique la suma de coeficientes de los términos lineales de sus factores primos.

RESOLUCIÓN

Escribimos el polinomio de la siguiente forma:

$P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + 2x^{2} - 2x + 1 \\ \\ P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + x^{2} + x^{2} - 2x + 1$

Notemos el trinomio cuadrado perfecto.

$P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + x^{2} + (x-1)^{2}$

Reescribimos el polinomio $P_{(x)}$ de esta forma:

$P_{(x)} = x^{5} + x^{2} + (x-1)^{2} - x^{4} \\ \\ P_{(x)} = x^{5} + x^{2} + (x-1)^{2} - (x^{2})^{2}$

Notemos además la diferencia de cuadrados y factorizemos.

$P_{(x)} = x^{5} + x^{2} + (x-1)^{2} - (x^{2})^{2} \\ \\ P_{(x)} = x^{2}(x^{3}+1) + (x-1+x^{2})(x-1-x^{2})$

Expandimos la suma de cubos $x^{3}+1$

$P_{(x)} = x^{2}(x^{3}+1) + (x-1+x^{2})(x-1-x^{2}) \\ \\ P_{(x)} = x^{2}(x+1)(x^{2}-x+1) - (x^{2}+x-1)(x^{2}-x+1)$

Factorizamos el factor común $x^{2}-x+1$

$P_{(x)} = x^{2}(x+1)(x^{2}-x+1) - (x^{2}+x-1)(x^{2}-x+1) \\ \\ P_{(x)} = (x^{2}-x+1)(x^{2}(x+1)-(x^{2}+x-1)) \\ \\ P_{(x)} = (x^{2}-x+1)(x^{3} +x^{2} - x^{2} - x +1)$

$P_{(x)} = (x^{2}-x+1)(x^{3} - x +1)$

De esta manera queda factorizado el polinomio $P_{(x)}$ siendo el coeficiente de los términos lineales los siguientes:

$P_{(x)} = (x^{2} \boldsymbol{-1}x+1)(x^{3} \boldsymbol{-1}x +1)$

Siendo la suma: $\boldsymbol{-1} + \boldsymbol{-1} = \boldsymbol{-2}$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La suma de coeficientes de los t\'erminos lineales es:}\ \boldsymbol{-2}}$

$\textbf{Problema 20 :}$

Factorize el siguiente polinomio $P_{(x)} = x^{5} + x(x+1)^{4} + (x+1)^{5}$ y señale el número de factores primos.

RESOLUCIÓN

Hagamos el cambio de variable correspondiente $a = x$ y $b = x+1$ quedando el polinomio de esta forma $P_{(x)} = a^{5} + a(b^{4}) + b^{5}$.

Notemos que sus términos se encuentran en el resultado de un cociente notable de la forma $\dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b}$

$\dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} = a^{5} +a^{4}b + a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3} + ab^{4} + b^{5}$

$\dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} - (a^{4}b + a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3}) = a^{5} + ab^{4} + b^{5} = P_{(x)}$

Restamos y sumamos el término $\boldsymbol{a^{3}b^{2}}$ con el fin de no alterar el polinomio y luego factorizamos por aspa simple el polinomio $a^{4}b + 2a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3}$

$P_{(x)} = \dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} - (a^{4}b + 2a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3}) + a^{3}b^{2}$

$P_{(x)} = \dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} - (a^{2}b+ab^{2})(a^{2}+ab) + a^{3}b^{2}$

Seguimos factorizando el polinomio y aplicamos una diferencia de cuadrados

$P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{a-b} - a^{2}b(a+b)^{2} + a^{3}b^{2}$

$P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{a-b} - a^{2}b((a+b)^{2}-ab)$

$P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{a-b} - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2})$

Aplicamos la diferencia de cubos.

$P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a-b} - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2}) \\ \\ P_{(x)} = (a^{3}+b^{3})(a^{2}+ab+b^{2}) - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2})$

Factorizamos el término común $a^{2}+ab+b^{2}$

$P_{(x)} = (a^{3}+b^{3})(a^{2}+ab+b^{2}) - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2}) \\ \\ P_{(x)} = (a^{2}+ab+b^{2})(a^{3}+b^{3}-a^{2}b)$

$P_{(x)} = (x^{2}+x(x+1)+(x+1)^{2})(x^{3}+(x+1)^{3}-x^{2}(x+1)) \\ \\ P_{(x)} = (3x^{2} + 3x + 1)(x^{3}+2x^{2}+3x+1)$

De esta manera queda factorizado el polinomio $P_{(x)}$ siendo el número de factores primos $\boldsymbol{2}$.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El n\'umero de factores primos es:}\ \boldsymbol{2}}$