En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 256. Si la suma de los extremos es 10, halla el mayor de los términos de dicha proporción.
a) 16
b) 10
c) 8
d) 12
e) 20
Respuestas
Respuesta:
8
Explicación paso a paso:
Una proporción geométrica continua tiene la siguiente forma (Según la universidad nacional de ingeniería (UNI)):
a/b = b/c o b/a = c/b
A partir de esta forma, se puede saber que:
a * c = b^2
Ahora, según el ejercicio, el producto de sus cuatro términos es 256:
a * b * b * c = 256 => Aplicamos bases iguales se suman exponentes
a * c * b^2 = 256 => Aquí se muestra "a * c", entonces lo reemplazamos.
b^2 * b^2 = 256 => Aplicamos bases iguales se suman exponentes
b^4 = 256
b = 4
Este resultado reemplazaremos en "a * c = b^2", la cual se formuló arriba.
a * c = b^2
a * c = 4^2
a * c = 16
a = 16/c
Ahora, el ejercicio menciona que los extremos de la proporción suman 10.
a + c = 10 => Según el resultado anterior "a = 16/c", entonces:
16/c + c =10
16/c = 10 - c
16 = c (10 - c)
16 = 10c - c^2
0= -c^2 +10c-16 => Se aplica aspa simple y el resultado será lo siguiente:
0 = (c - 8) (2 - c)
A partir de este resultado, las raíces de c son:
=> c - 8 = 0
c = 8
=> 2 - c = 0
c = 2
Ahora, vemos que se tiene 2 resultados, sin embargo, el ejercicio pide el mayor resultado, por lo tanto la respuesta es el mayor número, es decir 8.
Es posible que "a" tenga un mayor valor, pero si reemplazamos los resultados, veremos que "c" con el valor de 8 es mayor.