Question

Encuentra las ecuaciones ordinaria y general de cada circunferencia
1.- Es tangente a la recta
3x+4y-7=0 en el punto A(-3,4) y su radio es igual a 5.

Answer 1

Encuentra las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia que es  tangente a la recta r:  3x + 4y - 7 = 0 en el punto A(-3,4) y su radio 5.

Hola!!!

r Tangente a C  ⇒  Radio ⊥ r  en el punto A(-3; 4)

Distancia de un punto a una recta:

d(O; r) = ║(Ax₁ + By₁ + C)/√A² + B²║

Centro de la Circunferencia: O(h ; k)

Recta Tangente en A(-3 ; 4)   r: 3x + 4y - 7 = 0

A = 3    ; B = 4    ; C = -7      ; x₁ = h    ; y₁ = k    d(O; r) = R = 5

d(O; r) = ║(3h + 4k -7)/√3² + 4²║

5 = ║(3h + 4k -7)/√25║

5 = (3h + 4k -7)/5

5×5 = 3h + 4h -7

25 + 7 = 3h + 4k

32 = 3h + 4k

32 - 4k = 3h  ⇒

h = (32 - 4k)/3    Ecuación ( I )

Distancia entre 2 puntos:    A(-3 ; 4)   O(h ; k)    R = 5

d(OA) = √(x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²  

R = d(OA) = √(x₂ -h)² + (y₂ - k)²

5 = √(-3 - h)² + (4 - k)²      Resuelvo los productos notables  ⇒

5 = √9 + 6h + h² + 16 - 8k + k²  Elevo ambos miembro al² para eliminar raíz

5² = (√9 + 6h + h² + 16 - 8k + k²)²

25 = 9 + 6h + h² + 16 - 8k + k²

25 = h² + k² + 6h - 8k + 25

h² + k² + 6h - 8k = 0    Ecuación ( II )

Tenemos:

( I )     h = (32 - 4k)/3  

( II )    h² + k² + 6h - 8k = 0  

Sustituyo ( I ) en ( II )  ⇒

[(32 - 4k)/3]² + k² + 6(32 - 4k)/3  - 8k = 0

(1024 -256k +16k²)/9 + k² + 2(32 - 4k) - 8k = 0

(1024 -256k +16k²)/9 + k² + 64 - 8k - 8k = 0

(1024 -256k +16k² + 9k² + 576 - 72k - 72k)/9 = 0

25k² - 400k + 1600 = 0×9

25k² - 400k + 1600 = 0   divido entre 25 para reducir  ⇒

k² - 16k + 64 = 0     Resuelvo por formula general  ⇒

k = (16 ±√16² -4×1×64)/2×1

k = (16 ±√256 - 256)/2

k = (16 ±√0)/2

k = (16 ± 0)/2

k = 16/2

k = 8

( I )   h = (32 - 4k)/3   sustituyo  ⇒

h = (32 - 4×8)/3

h = (32 - 32)/3

h = 0/3

h = 0    ⇒

Coordenadas del centro de la Circunferencia O(0 ; 8)

Ecuación Ordinaria de Circunferencia:

C:  (x - h)² + (y - k)² = R²

C: (x - 0)² + (y - 8)² = 5²    Ecuación Ordinaria

Para hallar la ecuación General desarrollo los productos notables:

C: (x - 0)² + (y - 8)² = 5²  

C:  x² + y² - 16y + 64 = 25

C: x² + y² - 16y + 64 - 25 = 0

C:  x² + y² - 16y + 39 = 0    Ecuación General

Realizo el esquema grafico y verificamos (ver archivo adjunto)

Saludos!!!!