Question

Extraido de matemovil pregunta 25 Medicion angular, trigonometria / Si S, C y R son los números que expresan la
medida de un mismo ángulo en los tres sistemas (S,C,R).
Además se cumple que:$\sqrt{SK+S} =\sqrt{CK-C} =K, K\ \textgreater \ 1$
. Halle la medida de dicho ángulo en
radianes.
No logro resolverla T.T

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Answer 1

¡Buenas!

Tema: Sistemas de Medición angular

$\mathbf{Problema :}$

Si $\boldsymbol{S}$, $\boldsymbol{C}$ y $\boldsymbol{R}$ son los números que expresan la  medida de un mismo ángulo en los tres sistemas (sexagesimal, centesimal y radial).

Además se cumple que:

$\sqrt{ \boldsymbol{S}k + \boldsymbol{S}} = \sqrt{ \boldsymbol{C}k - \boldsymbol{C}} = k$

$k > 1$

Halle la medida de dicho ángulo en radianes.

RESOLUCIÓN

Sabemos que el número de un mismo ángulo expresado en diferentes sistemas de medición angular como son el sistema sexagesimal, centesimal y radial, se encontrará en la siguiente proporción.

$\dfrac{\boldsymbol{S}}{9} = \dfrac{\boldsymbol{C}}{10} = \dfrac{20 \boldsymbol{R}}{\pi} = n$

Entonces...

$\boldsymbol{S} = 9n$

$\boldsymbol{C} = 10n$

$\boldsymbol{R} = \dfrac{ \pi}{20} n$

Entonces según el problema, los números que expresan la medida de estos ángulos en los sistemas sexagesimal y centesimal deben cumplir lo siguiente.

$\sqrt{ \boldsymbol{S}k + \boldsymbol{S}} = \sqrt{ \boldsymbol{C}k - \boldsymbol{C}} = k$

Considerando $\textrm{k} > 1$

Desarrollemos primeramente

$\sqrt{ \boldsymbol{S}k+ \boldsymbol{S}} = \sqrt{ \boldsymbol{C}k - \boldsymbol{C}}$

$\sqrt{ \boldsymbol{S}(k +1)} = \sqrt{ \boldsymbol{C}(k -1)}$

Elevamos al cuadrado ambas partes de la igualdad.

$\boldsymbol{S}( \textrm{k} +1) = \boldsymbol{C}( \textrm{k} -1)$

$\dfrac{\boldsymbol{S}}{\boldsymbol{C}} = \dfrac{ \textrm{k} -1}{ \textrm{k} +1}$

Anteriormente mencionamos...

$\boldsymbol{S} = 9n$

$\boldsymbol{C} = 10n$

Entonces reemplazamos...

$\dfrac{9n}{10n} = \dfrac{9}{10} = \dfrac{ \textrm{k} -1}{ \textrm{k} +1}$

$9 \textrm{k} + 9 = 10 \textrm{k} - 10 \\ \textrm{k} = 19$

Una vez obtenido el valor de $\textrm{k}$ resolvamos ahora...

$\sqrt{ \boldsymbol{S} \textrm{k} + \boldsymbol{S}} = \textrm{k} \\ \\ \boldsymbol{S}( \textrm{k} +1) = \textrm{k}^{2} \\ \\ \boldsymbol{S}( 19 +1) = 19^{2} \\ \\ \boldsymbol{S} = 18,05 \\ \\ 9n = 18,05 \\ \\ n = \dfrac{361}{180}$

Ahora que conocemos el valor de $n$ podemos hallar la medida de dicho ángulo en radianes usando:

$\boldsymbol{R} = \dfrac{ \pi}{20} n$

$\boldsymbol{R} = \dfrac{361}{3600} \pi$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La medida del \'angulo en radianes es}\ \dfrac{361}{3600} \pi }$