Question

me pueden ayudar con este ejercicio por favor?
con solución por favor, paso a paso.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Radicación

$\mathbf{Problema :}$

Sean dos números $x$ e $y$ tal que:

$x = \sqrt{3+2\sqrt{2}}$

$y = \sqrt[6]{8}$

Halle el valor de $\boldsymbol{E}$ tal que:

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}$

RESOLUCIÓN

Debemos atacar el problema empezando por un método muy conocido para transformar el valor de $x = \sqrt{3+2\sqrt{2}}$ como suma de dos raíces.

$\textrm{Sea :}$

$\sqrt{\textrm{A} + 2 \sqrt{\textrm{B}}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$\textrm{Donde :}$

$\textrm{A} = a + b$

$\textrm{B} = a \times b$

En nuestro caso

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ \\ 3 = a + b \\ \\ 2 = a \times b$

No es necesario realizar un procedimiento tedioso para calcular $a$ y $b$ ya que es evidente que $a = 2$ y $b = 1$.

Entonces decimos...

$x = \sqrt{2} + 1$

Con respecto a $y$ decimos: $y = \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt{2}$

Debemos percatarnos de algo muy interesante y es...

$x - y = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1$

Esto es de suma importancia, notemos también que podemos expresar el valor de $\boldsymbol{E}$ de esta forma:

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{\boldsymbol{(1)}(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}$

Reemplazamos este $\boldsymbol{(1)}$ como el valor de $x-y$.

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}$

Apliquemos entonces la diferencia de cuadrados para reducir la expresión.

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x^{4}-y^{4})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x^{8}-y^{8})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{x^{16}-y^{16}+y^{16}} - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{x^{16}} - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = x - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = \sqrt{2} +1 - \sqrt{2}$

$\boldsymbol{E} = 1$

RESPUESTA

$\boxed{\boldsymbol{E} = 1}$