hola! alguien me ayude, el gráfico se tiene que hacer con derivadas y el área con integrales
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Respuesta:
El área encerrada entre la función y el eje de las abscisas es de 4 unidades.
Explicación paso a paso:
Primero derivamos. Nos queda 6*2x - 3*3x² es decir 12x-9x²
Ahora igualamos a cero la primer derivada
12x-9x²=0 saco x de factor común me queda x*(12-9x) = 0 lo cual solo se cumple si x es cero o si 12-9x=0 es decir 12 = 9x es decir x=4/3
Luego la función tiene sus máximos o mínimos en x=0 y en x=4/3
Ahora divido en tres intervalos
Primero cuando x pertenece a (-∞,0). Ahora evaluamos la primer derivada en algún punto perteneciente a este intervalo, por ejemplo en x=-1. Nos da 19*(-1)-9*(-1)² = -19-9*1=-19-9=-28 lo cual es un número negativo lo cual quiere decir que en el intervalo (-∞,0) la función decrece.
Si evaluamos a la primer derivada en algún punto dentro del intervalo (0,4/3) nos va a dar como resultado un número positivo lo cual quiere decir que la función crece en ese intervalo.
Si evaluamos a la primer derivada en algún punto dentro del intervalo (4/3,+∞) nos va a dar como resultado un número negativo lo cual quiere decir que la función decrece en ese intervalo.
En x=0 la función vale 0. En x=4/3 la función vale 6*(4/3)²-3*(4/3)³ lo cual es aproximadamente 3,5555. Con estos valores ya podemos graficar.
El área encerrada entre la curva y el eje de las abscisas es la integral de la función entre los valores que la hacen cero. Es decir entre 6x² - 3x³ = 0 saco x² de factor común me queda x²(6-3x)=0 es decir x=0 o 6-3x=0 es decir 6=3x es decir x=2
Luego tenemos que integrar a la función entre x=0 y x=2.
La función es 6x²- 3x³
La integral indefinida es 6*x³/3 - 3*x^4 /4 es decir 2x³-0,75x^4
Ahora tenemos que evaluarla entre 0 y 2. En cero vale cero. En dos vale 2*2³-0,75*2^4=4.
