Alguien me puede ayudar a verificar si (1,2) es un extremo relativo de la funcion.
F(x)= x^3-2x^2+x+2
Con solucion Muchas gracias
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Primero hallamos la primer derivada de la función. Esta es 3x^2 -4x+1.
Luego la igualamos a cero, para ello usamos la fórmula de la resolvente
x=4+-raízde(16-12) todo sobre 3*2 es decir x = 4+-2 todo sobre 6
Luego x = 1/3 o x = 1
Ahora debemos evaluar a la derivada, para ver si crece o decrece en los intervalos (-∞,1/3) (1/3,1) y (1,+∞)
Elijo un número en el intervalo (-∞,1/3), por ejemplo el cero. 3*0^2 - 4*0 + 1 = 0+0+1 = 1. Como es un número positivo quiere decir que la función crece en todo el intervalo.
Elijo un número en el intervalo (1/3,1) por ejemplo el 2/3.
3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 1 = 3*(4/9) -8/3 +1 = 4/3 - 8/3 +1 = -4/3 +1 = -1/3.
Como es negativo la función decrece en el intervalo.
Elijo un número en el intervalo (1,+∞), por ejemplo el 2. Queda 3*2^2 -4*2+1 = 3*4-8+1 = 12 -7 =5. Como es un número positivo la función crece en todo el intervalo.
Luego la función crece de -∞ a 1/3, decrece de 1/3 a 1, y crece de nuevo desde 1 hasta +∞. Luego 1/3 es un máximo y 1 es un mínimo. (Ambos son extremos locales ya que la función no alcanza un máximo ni un mínimo absoluto, empieza creciendo desde el menos infinito baja un poco y luego vuelve a subir y crece hasta más infinito).
Ahora podemos evaluar el 1 en la función original, nos queda 1^3 -2*1^2+1 +2= 1-2*1+1+2=2 Es decir que, si, (1,2) es un extremo relativo de la función, de hecho es un mínimo.