Dados el punto A(4 ;5) y la recta x+2y-4=0. Determinar en la recta los puntos B y C, tal que al unirlos con A, formen un triángulo equilátero.
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Respuesta:
Los puntos son (-0,3094;2,1547) y (4,3094;-0,1547).
Explicación paso a paso:
Primero hallamos la distancia del punto a la recta.
Para ello trazo una recta perpendicular a la recta x+2y-4=0 y que pase por A.
Para ello busco la pendiente de la recta x+2y-4=0.
Despejo y, 2y=4-x y=2-1/2 x
Como quiero que las rectas sean perpendiculares, quiero que la pendiente de mi nueva recta (m) multiplicada por la pendiente de esta recta den -1.
Es decir que m * (-1/2) = -1 entonces m = 2.
Luego mi recta es de la forma y = 2x +b.
Como el punto A tiene que pertenecer a la recta reemplazo y me queda 5=2*4+b es decir 5=8+b es decir b=5-8 es decir b=-3.
Luego la recta perpendicular que pasa por A tiene como ecuación y = 2x-3.
Ahora necesito hallar el punto de intersección entre esas dos rectas.
Para ello reemplazo y=2x-3 en x+2y-4=0. Me queda x+2(2x-3)-4=0
Distribuyo y me queda x+4x-6-4=0 es decir 5x-10 = 0 es decir 5x=10 es decir x = 2.
Para hallar el y de la intersección reemplazo, y = 2*2-3 = 4-3 = 1.
Luego el punto de intersección es (2,1).
Hallo la distancia entre el punto A (4,5) y el punto de intersección (2,1).
Para hallar distancias uso pitagoras, distancia^2 = (4-2)^2 + (5-1)^2
distancia^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 es decir que la distancia entre los dos puntos es raíz de 20.
Esa es la altura del triángulo equilátero que se forma. Yo quiero hallar la medida de los lados, para ello uso pitágoras: Uno de los lados es la hipotenusa (la medida del lado, que yo quiero hallar), otro de los lados mide la mitad de un lado y el otro lado mide la altura. Entonces lado^2 = raízde20 ^2 + (lado/2)^2 es decir lado^2 = 20 + lado^2 /4 es decir 3/4 lado^2 = 20 es decir lado^2 = 20*4/3 = 80/3.
Luego cada lado mide raíz de 80/3.
Yo quiero hallar dos puntos B y C que se encuentren a la mitad de esa distancia del punto P (2,1) que halle de la intersección y que a su vez estén sobre la recta x+2y-4=0.
Los puntos que están sobre la recta tienen ecuación x+2y-4=0 es decir x=-2y+4. Es decir que tienen la forma (-2y+4,y).
Para que la distancia sea esa, (-2y+4-2)^2 + (y-1)^2 = ((raízde(80/3))/2)^2
Es decir (-2y+2)*(-2y+2) + (y-1)*(y-1) = (80/3)/4
Distribuyo 4y^2 -4y -4y +4 + y^2 -y -y +1 =80/(3*4)
Es decir 5y^2 -10y + 5 = 80/12 = 20/3
Divido todo por 5 me queda y^2 -2y +1 = 4/3 es decir y^2 -2y -1/3 = 0
Luego uso la fórmula de la resolvente
y = 2 +- raízde (4+4*1/3) todo sobre 2*1
y = 2 +- 2,3094 todo sobre 2
y = 2,1547 ó y = -0,1547
Como x = -2y+4
Con y = 2,1547 x = -2*2,1547 + 4 = -0,3094
Con y = -0,1547 x = -2*(-0,1547) + 4 = 4,3094
Los puntos son (-0,3094;2,1547) y (4,3094;-0,1547).
