Question

UN RETO PARA LOS GRANDES GENIOS _GEOMETRIA_
NIVEL UNI

Answer 1

Vale

Listo :D

Algo que me dí cuenta fue que en la parte rellena de Color negro sólo hay dos, por lo que hablamos de ángulos iguales o congruentes.

En fin, te decepciono compa, no soy un Gran Genio :v

Answer 2

¡Buenas!

Tema: Trazos Auxiliares

$\textbf{Problema :}$

Si en la figura mostrara $\textrm{BD} = \textrm{DC} = a$ y además la medida del ángulo $\angle \textrm{BAD}$ mide $30$ grados, y además, $\angle \textrm{DCA} = 2 \angle \textrm{DAC}$ halle el valor del ángulo $\angle \textrm{DAC}$.

RESOLUCIÓN

Método I

Debido a que notamos un ángulo de $30$ grados, ubicamos el circuncentro $\textrm{O}$ del triángulo $\bigtriangleup \textrm{ABD}$ suponiendo que el ángulo $\angle \textrm{ABD} > 90$ por ende el circuncentro se ubicará en la región exterior relativa a $\overline{\textrm{AD}}$, además supondremos que también se encontrara en la región triangular $\bigtriangleup \textrm{ADC}$

Trazamos los radios de la circunferencia circunscrita al triángulo $\bigtriangleup \textrm{ABD}$, es decir, trazamos los segmentos $\overline{\textrm{OA}}$, $\overline{\textrm{OB}}$ y $\overline{\textrm{OD}}$; aprovechemos que el arco $\widehat{\textrm{BD}}$ mide $60$ grados debido al ángulo $\angle \textrm{BAD}$, entonces el ángulo $\angle \textrm{BOD}$ mide $60$ grados al ser $\textrm{O}$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, y como el ángulo $\angle \textrm{BOD}$ mide $60$ grados, los radios por definición deben ser de igual longitud $\textrm{OB} = \textrm{OD}$, entonces es fácil reconocer que el triángulo $\bigtriangleup \textrm{BOD}$ es equilátero, por tanto el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\bigtriangleup \textrm{ABD}$ mide $a$ (ver archivo 1)

Trazamos ahora el segmento $\overline{\textrm{OC}}$, es fácil notar que $\angle \textrm{DOC} = \angle \textrm{DCO} = 30$ (ver archivo 2), Ahora trazemos la altura $\overline{\textrm{BE}}$, por teorema de la mediana relativa a la hipotenusa $\textrm{ED} = a$, entonces trazamos el segmento $\overline{\textrm{ED}}$ (ver archivo 3), sin embargo se llega a un absurdo, ya que según nuestro gráfico $\textrm{ED} > \textrm{OD}$ o en caso de que el circuncentro se hubiese ubicado en la parte izquierda de $\textrm{E}$ se debe cumplir $\textrm{OD} > \textrm{ED}$, entonces se da la posibilidad. $\textrm{E = O}$, Debido a que $\textrm{E = O}$ entonces esto quiere decir que el circuncentro $\textrm{O}$ se encontraba en verdad, en el segmento $\overline{\textrm{AC}}$ y nosotros inicialmente suponíamos otra hipótesis.

Entonces, reacomodamos la figura (ver archivo 4) y ubicamos el circuncentro adecuadamente, recordar que el segmento $\overline{\textrm{BO}}$ es altura, por ende el ángulo $\angle \textrm{BOC}$ mide $90$ grados, de manera análoga aprovechamos la medida del arco $\widehat{\textrm{BD}}$ para formar el triángulo equilátero $\bigtriangleup \textrm{BOD}$, de manera inmediata nos damos cuenta que el $\bigtriangleup \textrm{BOC}$ es el notable de $30$ y $60$, entonces $2x = 30 \to\ x = 15$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El valor del \'angulo}\ \angle \textrm{DAC}\ \textrm{es}\ 15\ \textrm{grados}}$

Método II

Este método es mucho más fulminante y directo, construimos el triángulo equilátero $\bigtriangleup \textrm{ADE}$, notemos que el segmento $\overline{\textrm{AB}}$ es parte de la mediatriz, por ende $\textrm{DB} = \textrm{BE} = a$, y además trazamos a la vez el segmento $\overline{\textrm{EF}}$ tal que $\textrm{EF} = \textrm{EC} = a$, (ver archivo 5) notamos inmediatamente que los triángulos $\bigtriangleup \textrm{AFE}$ y $\bigtriangleup \textrm{DBE}$ son congruentes por el criterio de $(\boldsymbol{LLL})$ $\bigtriangleup \textrm{AFE} \cong \bigtriangleup \textrm{DBE}$, entonces $x = 60 -3x \to x = 15$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El valor del \'angulo}\ \angle \textrm{DAC}\ \textrm{es}\ 15\ \textrm{grados}}$