Question

Por favor necesito ayuda en este problema doy varios puntoa

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Numeración

$\mathbf{Problema :}$

Danilo se fue de viaje con $\overline{\textrm{MAR}}$ soles, gastó $\textrm{M} \times \overline{\textrm{AR}}$ soles y le quedó $\overline{\textrm{ARM}}$ soles. Estando de regreso, obsequió a un aciano $\overline{\textrm{MR}}$ soles. ¿Cuánto de dinero le quedó?

RESOLUCIÓN

Antes que nada debemos saber que todo numeral de 3 o 2 cifras y además de base 10 se puede escribir como:

$\overline{abc} = 100a+10b+c \\ \\ \overline{ab} = 10a + b$

$\{a, b, c\} \subset \mathbb{N}$

Según el problema Danilo empezó con $\overline{\textrm{MAR}}$ soles, gastó $\textrm{M} \times \overline{\textrm{AR}}$ soles y le quedó $\overline{\textrm{ARM}}$ soles, esto podemos interpretarlo matemáticamente de la siguiente manera.

$\overline{\textrm{MAR}} - \textrm{M} \times \overline{\textrm{AR}} = \overline{\textrm{ARM}}$

$\overline{\textrm{MAR}} = \overline{\textrm{ARM}} + \textrm{M} \times \overline{\textrm{AR}}$

$100 \textrm{M} + 10 \textrm{A} + \textrm{R} = 100 \textrm{A} + 10 \textrm{R} + \textrm{M} + \textrm{M} \times (10 \textrm{A} + \textrm{R})$

$99 \textrm{M} - 90 \textrm{A} - 9 \textrm{R} = \textrm{M} \times (10 \textrm{A} + \textrm{R}) \\ \\ 99 \textrm{M} -9 (10 \textrm{A} +\textrm{R}) = \textrm{M} \times (10 \textrm{A} + \textrm{R}) \\ \\ 99 \textrm{M} = (10 \textrm{A} +\textrm{R}) (\textrm{M} +9)$

$9 \times 11 \times \textrm{M} = (10 \textrm{A} +\textrm{R}) (\textrm{M} +9)$

Logramos reducir la igualdad de varias sumas a productos, a partir de aquí debemos dar lugar a razonamiento lógicos.

Sabemos que $\textrm{M}$, $\textrm{A}$ y $\textrm{R}$ necesariamente deben ser números naturales por tanto el máximo valor que tomará el factor $\textrm{M} + 9$ es $18$, esto ocurre cuando $\textrm{M}$ toma su mayor valor posible el cual es $9$, y su mínimo valor será $10$ , esto último se dará cuando $\textrm{M}$ tome su mínimo valor posible, el cual es 1, ¿qué queremos decir con esto?, queremos decir que el valor del factor $\textrm{M} + 9$ se encuentra entre $10$ y $18$, por ende es lógico pensar que el valor de $\textrm{M} + 9$ debe ser un factor de la descomposición de $99 \textrm{M}$, en este caso solo existe un candidato posible el cual es $11$.

Llegamos a la conclusión de que el factor $\textrm{M} + 9$ es igual a $11$, por ende $\textrm{M} = 2$, y regresando a la igualdad de productos podemos hallar el valor de $\textrm{A}$ y $\textrm{R}$.

$9 \times 11 \times \textrm{M} = (10 \textrm{A} +\textrm{R}) (\textrm{M} +9) \\ \\ \boxed{\textrm{M} = 2} \\ \\ 9 \times 11 \times 2 = (10 \textrm{A} +\textrm{R}) (2 +9)$

$9 \times 11 \times 2 = (10 \textrm{A} +\textrm{R}) \times 11 \\ \\ 18 = 10 \textrm{A} +\textrm{R} \\ \\ 18 = \overline{\textrm{AR}}$

$\textrm{A} = 1\ \wedge\ \textrm{R} = 8$

Realicemos la comprobación

$\overline{\textrm{MAR}} - \textrm{M} \times \overline{\textrm{AR}} = \overline{\textrm{ARM}}$

$218 - 2 \times 18 = 182 \\ \\ 218 - 36 = 182 \\ \\ 182 = 182\ \ \ \checkmark$

Según el problema Danilo estando de regreso, obsequió a una anciano $\overline{\textrm{MR}}$ soles, es decir obsequió $28$ soles, nos preguntan cuanto dinero le queda a Danilo, concluimos entonces.

$\textrm{A Danilo le qued\'an :} \\ \\ 182 - 28 = 154$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{A Danilo le qued\'an 154 soles}}$