Question

Alguien por favor.........................

Answer 1

¡Hola ^^!

Si:
$P ( {x}^{3} + {x}^{2} ) = {x}^{5} + x$

Hallar:
$P(1)$

I. Igualamos las expresiones entre paréntesis:
${x}^{3} + {x}^{2} = 1.......(1)$

Ahora, vamos a multiplicar ambos miembros de la ecuación (1) por
${x}^{ - 1}$

$( {x}^{ 3} + {x}^{2} = 1) \times {x}^{ - 1} \\ ( {x}^{3} + {x}^{2}) \times {x}^{ - 1} = 1 \times ( {x}^{ -1)} \\ {x}^{3} \times {x}^{ - 1} + {x}^{2} \times {x}^{ - 1} = {x}^{ - 1} \\ \boxed{{x}^{2} + x = {x}^{ - 1} }$

Luego, multiplicaremos la ecuación (1) por
${x}^{ - 2}$

$( {x}^{ 3} + {x}^{2} = 1) \times {x}^{ - 2} \\ ( {x}^{3} + {x}^{2}) \times {x}^{ - 2} = 1 \times ( {x}^{ -2)} \\ {x}^{3} \times {x}^{ - 2} + {x}^{2} \times {x}^{ - 2} = {x}^{ - 2} \\ \boxed{ {x} + 1 = {x}^{ - 2} } \: \: \: .......(3)$

II. Resolvemos:
$P ( {x}^{3} + {x}^{2} ) = {x}^{5} + x$

Recordemos que:
${x}^{3} + {x}^{2} = 1$

a) Factorizamos x³
$P ( 1 ) = {x}^{3} ( {x}^{2} + {x}^{ - 2} )$

b) Reemplazamos (3) en el ejercicio.
$P ( 1 ) = {x}^{3} ( {x}^{2} + \boxed{ {x}^{ - 2}} ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: {x}^{ - 2} = x + 1 \\ P ( 1 ) = {x}^{3} ( {x}^{2} +\boxed{ x + 1})$

c) Reemplazamos (2):
$P ( 1 ) = {x}^{3} ( \boxed{{x}^{2} + x }+ 1) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: {x}^{2} + x = {x}^{ - 1} \\ P ( 1 ) = {x}^{3} ( \boxed{ {x}^{ - 1} } + 1) \\ P ( 1 ) = {x}^{3} ( \frac{1}{x} + 1)$

d) Continuamos resolviendo:
$P ( 1 ) = {x}^{3} ( \frac{1}{x} + 1) \\ P ( 1 ) = {x}^{3} ( \frac{1 + x}{x} ) \\ P ( 1 ) = {x}^{2} (x + 1 ) \\ P ( 1 ) = ( {x}^{3} + {x}^{2} ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: {x}^{3} + {x}^{2} = 1 \\ \boxed{ P ( 1 ) = 1}$

Respuesta: 1

Espero que te sirva de ayuda y se entienda la idea :3

Saludos:
Margareth ✌️