Question

Determinar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es paralela a la recta que pasa por (4,1) y (-2,2).
Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (2,3) y es perpendicular a la reta 2x-3+6=0.

Answer 1

Primer problema:

Conocemos el punto por el que pasa la recta (2,-3)

Necesitamos calcular la pendiente y necesitamos x1, x2, y1, y2 para usarlas en la siguiente ecuación:

$y1 - y2 = m(x1 - x2)$

El problema nos menciona que hay una recta paralela a la que estamos buscando, al ser paralelas su pendiente "m" sería la misma, entonces obtenemos la pendiente de la recta que es paralela (4,1) y (-2,2). Usamos la siguiente ecuación:

$m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$

m = (2 - 1) / (-2 -4) = -1/6

Ahora que tenemos la pendiente que es la misma para ambas rectas procedemos a obtener la ecuación de la recta que nos pide.

y + 3 = -1/6 (x -2)
y + 3 = -x/6 + 2/6

Simplificamos multiplicando todo por 6

(y + 3 = -x/6 + 2/6) 6

6y +18 = -x + 2

Igualamos a 0

x + 6y + 16 = 0

Segundo problema:

Sabemos que la recta pasa por el punto (2,3) pero no sabemos su pendiente para conocerla debemos obtener la pendiente de la recta que es perpendicular y después invertir la pendiente pues dos rectas perpendiculares tienen pendientes opuestas.

Para obtener la pendiente utilizamos la forma pendiente ordenada al origen de 2x - 3y + 6 = 0

La forma pendiente ordenada al origen es la siguiente:

y = mx + b

Entonces despejamos "y"

-3y = -2x - 6
3y = 2x + 6
y = (2x + 6)/3

y = 2/3x + 2

Ya tenemos la pendiente que sería 2/3 y la pendiente de la recta que buscamos por ser perpendicular sería totalmente opuesta, es decir, -3/2.

Aplicamos la ecuación de punto pendiente ya vista con los punto de la recta que queremos conocer (2, 3)

y - 3 = -3/2 (x - 2 )

y - 3 = -3/2x + 6/2

2y - 6 = -3x + 6

Igualamos a 0

3x + 2y - 12 = 0

Espero que te sirva. Saludos!