Question

Un cuadrado perfecto que sumando 2020 nos de otro cuadrado perfecto.

2020+(x)^2 = (n)^2

Como se pueden saber esos numeros analiticamente?

Answer 1

Un cuadrado perfecto que sumando 2020 nos de otro cuadrado perfecto.

$2020+(x)^2 = (n)^2$

Respuesta:

Se tienen dos respuestas:

1.- 506, 504

2.- 106, 96

Explicación paso a paso:

Partiendo de:

$2020+(x)^2 = (n)^2$

Podemos despejar:  Aqui, 'n' es mayor que 'x'

$(n)^2-(x)^2 =2020$

Tenemos una diferencia de cuadrados que se puede desarrollar

$(n)^2-(x)^2 =(n+x)(n-x)=2020$

Vamos a descomponer 2020 en sus factores:

2020 = 101 x 5 x 2 x 2   (101 es primo, hasta ahí se puede descomponer)

2020 puede estar formado de la siguiente forma:

a).- (2020)(1) = 2020, La suma da: 2020+1 = 2021

b).- (1010)(2) = 2020, La suma da: 1010+2 = 1012

c).- (505)(4) = 2020, La suma da: 505+5 = 509

d).- (404)(5) = 2020, La suma da: 404+5 = 409

e).- (202)(10) = 2020, La suma da: 202+10 = 212

f).- (101)(20) = 2020, La suma es: 101+20=121

La estrategia que seguiremos esta basada en que 2020 es el producto de la suma de dos números multiplicado por la diferencia de ellos:

Además, sabemos que (x)(y)=2020

a + b = x

a - b = y

-------------    Por suma y resta tenemos que:

2a     = (x+y)    ,   a = (x+y)/2,        b = a - y

La suma debe dar un número par para que los números sean enteros, solo tenemos dos opciones: b)  y  e)

b).- 1010 y 2,   1010 x 2 = 2020

a + b = 1010   (sumando las dos ecuaciones)

a  -  b =     2        (de aqui:  b=a-2)

----------------  Por suma de ecuaciones tenemos:

2a      =   1012,    a=1012/2,   a=506,   b=506-2=504, b=504

(504)(504)=254 016 es el cuadrado perfecto que sumaremos a 2020

254 016 + 2020 = 256036

(506)(506)=256 036 es el cuadrado perfecto total

Se comprueba que:

$2020+(504)^2 = (506)^2$

e).- 202 y 10,   202 x 10 = 2020

a + b = 202   (sumando las dos ecuaciones)

a  -  b =   10        (de aqui:  b=a-10)

----------------  Por suma de ecuaciones tenemos:

2a      =   212,    a=212/2,   a=106,   b=106-10=96, b=96

(96)(96)=9216 es el cuadrado perfecto que sumaremos a 2020

9216 + 2020 = 11236

(106)(106)=11236 es el cuadrado perfecto total

Se comprueba que:

$2020+(96)^2 = (106)^2$