tenemos un triángulo con catetos de 3cm y 5cm y lo queremos ampliar mantenimiento de proporcion pero llevando su cateto mayor a 9cm. ¿Cuanto medira su cateto menor?
Respuestas
Respuesta:
5,4
Explicación paso a paso:
hacemos la proporción
3/5 = x/9
despejamos a x
(3.9)/5 = x
27/5 = x
5,4 = x
El cateto menor del triángulo que se obtiene al prolongar los lados de un triángulo con catetos de 3 cm y 5 cm, es de 5.4 cm de longitud.
Desarrollo de la respuesta:
Se quiere ampliar un triángulo manteniendo las proporciones; es decir, construir un triángulo de mayores dimensiones pero con la misma medida de sus tres ángulos que el original.
En la figura anexa se muestra la situación planteada. Se conocen los lados de 3 y 5 cm de un triángulo rectángulo y extendemos el cateto de 5 cm hasta 9 cm.
En el extremo del segmento de 9 cm se traza el lado perpendicular (cateto opuesto) hasta que e encuentra con la prolongación de la hipotenusa, formando un nuevo triángulo rectángulo con las mismas medidas angulares que el original pero con catetos de x y 9 cm.
El concepto de semejanza de triángulos se basa en que las proporciones entre los lados son iguales; es decir, la razón de los lados verticales entre los lados horizontales de cada triángulo deben ser iguales.
Esta relación se obtiene por el cálculo de la tangente del ángulo α:
Triángulo original: Tgα = (Cat Opuesto)/(Cat Adyacente) = (3)/(5)
Triángulo ampliado: Tgα = x/9
Igualando las expresiones de cálculo de la tangente, podemos obtener el valor de lado menor del triángulo ampliado:
x/9 = 3/5 ⇒ x = 27/5 = 5.4 cm
El cateto menor del triángulo que se obtiene al prolongar los lados de un triángulo con catetos de 3 cm y 5 cm, manteniendo la proporción de los lados, y cuyo cateto mayor es 9 cm, será de 5.4 cm de longitud.
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