Halla la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa por los puntos A(-1,1) B(2,3) C(7,5). Escribe la ecuación en su forma
A) General
B) Cuales son las coordenadas del vértice?
Ayuda por favor no le entiendo
Respuestas
Respuesta:
a) y² - 4x + 2y - 7 = 0
b) V = (-2,-1)
Explicación paso a paso:
a) como es paralela al eje x es una parábola horizontal cuya formula general es
y² + Dx + Ey + F = 0
en esta ecuacion reemplazamos cada uno de los puntos que nos dieron en el ejercicio y obtendremos 3 ecuaciones con 3 incógnitas
para (-1,1)
(1)² + D(-1) + E(1) + F = 0
1 - D + E + F = 0
-D + E + F = -1 ecuacion 1
para (2,3)
(3)² + D(2) + E(3) + F = 0
9 + 2D + 3E + F = 0
2D + 3E + F = -9 ecuacion 2
para (7,5)
(5)² + 7D + E(5) + F = 0
25 + 7D + 5E + F = 0
7D + 5E + F = -25 ecuacion 3
ya tenemos el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que vamos a resolver por reduccion
a la ecuacion 1 le vamos a restar la ecuacion 2 para eliminar la F y me quede una ecuacion (4) de 2 incógnitas
- D + E + F = -1
- 2D -3E - F = 9
______________
-3D - 2E = 8 ecuacion 4
a la ecuacion 1 le restamos la ecuacion 3 para eliminar la F y me queda una ecuacion (5) de 2 incógnitas
- D + E + F = -1
-7D - 5E - F = 25
_____________
- 8D - 4E = 24
-2(4D + 2E) = 24
4D + 2E = 24/-2
4D + 2E = -12 ecuacion 5
ahora a la ecuacion 4 le sumamos la ecuacion 5 para eliminar la E y despejar para obtener el valor de D
- 3D - 2E = 8
4D + 2E = -12
_____________
D = -4
reemplazamos el valor de D en la ecuacion 4 para obtener el valor de E
- 3D - 2E = 8
- 3(-4) - 2E = 8
12 - 2E = 8
- 2E = 8 - 12
- 2E = - 4
E = -4/-2
E = 2
ahora reemplazamos los valores de D y E en la ecuacion 1 para obtener el valor de F
- D + E + F = - 1
-(-4) + (2) + F = - 1
4 + 2 + F = - 1
6 + F = - 1
F = - 1 - 6
F = - 7
ahora reemplazamos los valores de D, E y F en la formula general de la parábola horizontal para hallar la ecuacion general de la parábola
y² + Dx + Ey + F = 0
Y² + (-4)x + (2)y + (-7) = 0
y² - 4x + 2y - 7 = 0 ecuacion general
b) para calcular el vértice debemos convertir la ecuacion general a canónica
y² - 4x + 2y - 7 = 0
primero dejamos los términos de y al lado izquierdo del igual y los que no tienen y al lado derecho
y² + 2y = 4x + 7
ahora completemos el trinomio cuadrado perfecto con los términos de y sumando a ambos lados de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente de y a la 1
como el coeficiente de y a la 1 es 2 entonces la mitad 1 y al elevarla al cuadrado queda 1
y² + 2y + 1 = 4x + 7 + 1
ahora factorizamos el trinomio cuadrado perfecto a la izquierda y reducimos términos semejantes a la derecha
(y + 1)² = 4x + 8
sacamos factor común a la derecha del igual
(y + 1)² = 4(x + 2)
ya podemos sacar el vértice
V = (-2,-1)