En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la altura relativa a la hipotenusa es 6 y la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa es 3. Calcular la suma de catetos.
Respuestas
Respuesta:
El lado del cuadrado mide 50,91 cm
Explicación paso a paso:
Planteamiento:
Triangulo rectángulo inscrito en un cuadrado
Lados del triangulo
AC: cateto menor
CB : cateto mayor
AB : hipotenusa
Lados del cuadrado:
SQ, QP, PR y RS
BS = 72 cm
Es la diagonal del cuadrado (SP = SB) que esta por encima de la hipotenusa AB del triangulo.
AP = 50 cm
Ahora bien como se tiene un cuadrado y este forma otro triángulo rectángulo con sus catetos, que son el lado del cuadrado iguales, entonces:
Con el teorema de Pitagoras:
l² +l² = (72)²
2l² = 5.184
l = √5184/2
l = 50,91 cm.
Datos:
Altura relativa (h) = 6
Proyección de AB = 3
El problema se muestra el dibujo de la imagen anexa.
Los catetos son AB y BC y la hipotenusa es AC
De acuerdo al Teorema de la Altura que establece “En todo triangulo rectángulo le cuadrado del a altura relativa de la hipotenusa es igual al producto de sus proyecciones sobre la hipotenusa”
Matemáticamente se expresa:
h² = m x n
Donde:
h: Altura Relativa de la hipotenusa.
m: Proyección del Cateto mayor (CM).
n: Proyección del Cateto menor (Cm).
Para el caso en solución se tiene que el cateto menor (n) es 6.
Despejando:
m = h² ÷ n
m = (6)² ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12
m = 12
La hipotenusa (H) es entonces la sumatoria de ambas longitudes.
H = m + n = 12 + 3 = 16
H = 15 = AC
Con los valores de la altura relativa y de la proyección n se calcula el valor del cateto AB, mediante el Teorema de Pitágoras.
AB² = h² + n²
AB = √[(6)² + (3)²] = √(36 + 9) = √45 = 6,7082
AB = 6,7082
De manera similar se obtiene el cateto BC.
AC² = AB² + BC²
Despejando BC.
BC² = AC² - AB²
BC = √AC² - AB² = √[(15)² – (6,7082)²] = √(225 -45) = √270 = 16,4319
BC = 16,4319
La suma de los catetos es:
∑Catetos = AB + BC
∑Catetos = 6,7082 + 16,4319 = 23,1398
∑Catetos = 23,1398
