Se desea hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 12 cm de lado, cortando cuadritos iguales de cada esquina. Hallar el maximo volumen que puede lograrse con una caja así.
Respuestas
Sea x la cantidad que se corta en cada esquina.
La base de la caja mide (12 - 2 x)
El volumen de la caja es V = x (12 - 2 x)² = 4 x³ - 48 x² +144 x
Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda derivada negativa.
V' = 12 x² - 96 x + 144 = 0
Resulta x = 6; x = 2 (6 se descarta porque no habría caja)
V'' = 24 x - 96; en x = 2; V'' = 48 - 96 = - 48 (negativa, máximo valor)
El volumen máximo es:
V = 2 (12 - 2 . 2)² = 128 cm³
Adjunto dibujo.
Mateo
Las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen máximo: El alto de la caja es de 3,15 cm y el lado de la base es de 5,7 cm
Explicación paso a paso:
Optimización:
Las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen máximo es:
Volumen de la caja cuadrada:
V = Base² * altura
V = (12-2x)² *x
V = (4x²+4x-144)x
V = 4x³+4x²-144x
Para obtener los puntos críticos derivamos
V´= 12x² +8x -144
0= 12x² +8x -144 Ecuación de segundo grado que resulta
x₁ =-3,81
x₂ = 3,15 cm
El alto de la caja es de 3,15 cm y el lado de la base es de 5,7 cm
El máximo volumen que puede lograrse con una caja así.
V = (5,7cm)²3,15cm
V = 102,34 cm³
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