Question

75 PUNTOS !! Solo los de maximo entero si es posible.

Hallar los dominios :

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

a) como es una funciona racional el denominador no puede ser cero

x² - x ≠ 0

x(x - 1) ≠ 0

x ≠ 0            x - 1 ≠ 0

x ≠ 0            x ≠ 1

dominio = (-∞,0) U (0,1) U (1,∞)

b) función racional

2x - x ≠ 0

x ≠ 0

dominio = (-∞,0) U (0,∞)

c) función racional

(-∞,0)

d) función racional

x ≠ 0

dominio (-∞,0) U (0,∞)

e) función racional

x - 3 ≠ 0

x ≠ 3

dominio = (-∞,3) U (3,∞)

f) función cuadrática

dominio (-∞,∞)

g) función radical racional la cantidad subradical debe ser mayor que cero

$\frac{2-x}{x+1}>0$

2 - x = 0

2 = x

x + 1 ≠ 0

x ≠ -1

los puntos donde hay cambio de signo son -1 y 2

ahora reemplazamos por cualquier valor en la ecuacion por ejemplo 5

f(5) = $\sqrt{\frac{2-5}{5+1} }$

f(5) = $\sqrt{-3/6}$

f(5) = $\sqrt{-0,5}$   como da negativo

(-∞,-1) da negativo

(-1,2} da positivo

{2,∞) da positivo

como el dominio tiene que ser mayor que cero queda se toma el intervalo positivo

dominio = (-1,2}

h) función radical racional

$\frac{4-x}{x-1}$ > 0

4 - x = 0

4 = x

x - 1 = 0

x = 1

los puntos donde hay cambio de signo son 1 y 4

reemplazamos por x = 2 para saber el comportamiento de los signos

f(2) = $\sqrt{\frac{4-2}{2-1} }$

f(2) = $\sqrt{2/1}$

f(2) = $\sqrt{2}$

dominio (-∞,-1) U (-1,4}

i) función radical

x - x³ ≥ 0

x(1 - x²) ≥ 0

x(1 + x) (1 - x) ≥ 0

x = 0           1 + x = 0          1 -x = 0

x = 0             x = -1              1 = x

dominio (-∞,-1} U {0,1}

Answer 2

¡Buenas!

Tema: Dominio de Funciones

$\mathbf{Problema\ 1}$

Hallar el dominio de la siguiente función.

$f(x) = \dfrac{1}{x^{2} - \left \| x \right \|}$

RESOLUCIÓN

Para hallar el dominio debemos hallar aquellos valores de $x$ que cumplan:

$x^{2} - \left \| x \right \| = 0 \\ \\ x^{2} = \left \| x \right \|$

Podemos hallar los valores empleando el método gráfico, pero yo usaré otro método.

$x^{2} = \left \| x \right \|$

Como bien sabemos la función máximo entero solo nos da valores enteros, entonces debemos encontrar dichas coincidencias, evaluando para valores de $x^{2}$ que resulten un número entero.

Nota No consideraremos números negativos porque evidentemente los valores de $x^{2}$ y $\left \| x \right \|$ serán de signos opuestos, por ende es notorio que serán diferentes.

$x^{2} = \left \| x \right \| \\ \\ \textrm{evaluamos para}\ \boxed{x = 0} \\ \\ 0^{2} = \left \| 0 \right \| \\ \\ 0 = 0\ \ \checkmark$

$x^{2} = \left \| x \right \| \\ \\ \textrm{evaluamos para}\ \boxed{x = 1} \\ \\ 1^{2} = \left \| 1 \right \| \\ \\ 1 = 1\ \ \checkmark$

$x^{2} = \left \| x \right \| \\ \\ \textrm{evaluamos para}\ \boxed{x = \sqrt{2}} \\ \\ \sqrt{2}^{2} = \left \| \sqrt{2} \right \| \\ \\ 2 = 1\ \ \bigotimes$

$x^{2} = \left \| x \right \| \\ \\ \textrm{evaluamos para}\ \boxed{x = \sqrt{3}} \\ \\ \sqrt{3}^{2} = \left \| \sqrt{3} \right \| \\ \\ 3 = 1\ \ \bigotimes$

Si seguimos con este proceso, entonces nos damos cuenta que cada vez nos alejamos más, por ende los únicos valores que cumplen son:

$\boxed{x=0}$

$\boxed{x=1}$

Entonces el dominio de la función $f(x)$ será.

$Dom_{f} = \mathbb{R} - \{0;\ 1\}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = \mathbb{R} - \{0;\ 1\}}$

$\mathbf{Problema\ 2}$

Hallar el dominio de la siguiente función.

$f(x) = \dfrac{x}{2x - \left \| x \right \|}$

RESOLUCIÓN

El procedimiento para hallar el dominio de esta función es análogo al anterior, evaluar aquellos valores de $x$ que cumplan que $2x$ sea un entero, en esta ocasión se considerarán número negativos (también se puede optar por el método gráfico).

$2x - \left \| x \right \| = 0$

$2x = \left \| x \right \|$

Una vez hecho el procedimiento de evaluar, rápidamente notarás que solo existe un valor que cumpla tal condición.

$\textrm{evaluamos para}\ \boxed{x=0}$

$2x = \left \| x \right \| \\ \\ 2(0) = \left \| 0 \right \| \\ \\ 0 = 0\ \ \checkmark$

Entonces el dominio de al función $f(x)$ será.

$Dom_{f} = \mathbb{R} - \{0\}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = \mathbb{R} - \{0\}}$

$\mathbf{Problema\ 3}$

Hallar el dominio de la siguiente función.

$f(x) = \dfrac{2x^{2}}{x - \left \| x \right \|}$

RESOLUCIÓN

Antes de empezar con la solución voy a introducir un teorema.

$\boldsymbol{Teorema}$

$\left \| x \right \| = x \Leftrightarrow x \in \mathbb{Z} \\ \\ \mathbb{Z} : \textrm{Conjunto de los n\'umero enteros}$

Para hallar el dominio de la función, debemos hallar aquellos valores de $x$ que cumplan.

$x - \left \| x \right \| = 0 \\ \\ x = \left \| x \right \|$

Pero por el teorema ya expuesto, entonces todos los valores de $x$ que cumplan tal condición se encuentran en los número enteros, decimos entonces.

$x = \left \| x \right \| \\ \\ x \in \mathbb{Z}$

Entonces el dominio de la función $f(x)$ será.

$Dom_{f} = \mathbb{R} - \mathbb{Z}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = \mathbb{R} - \mathbb{Z}}$

$\mathbf{Problema\ 4}$

Hallar el dominio de la siguiente función.

$f(x) = \left \| \dfrac{1}{x} \right \|$

RESOLUCIÓN

Se sabe que el dominio función máximo entero $g(x) = \left \| x \right \|$ es $Dom_{g} = \mathbb{R}$, entonces si queremos hallar el dominio de la función $f(x)$ solo basta con saber que valor no puede tomar $x$ del cual es evidente $x \neq 0$.

Entonces el dominio de la función $f(x)$ será.

$Dom_{f} = \mathbb{R} - \{0\}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = \mathbb{R} - \{0\}}$

$\mathbf{Problema\ 5}$

Hallar el dominio de la siguiente función.

$f(x) = \left \| \dfrac{1}{x-3} \right \|$

RESOLUCIÓN

El procedimiento es análogo al anterior.

Entonces el dominio de la función $f(x)$ será.

$Dom_{f} = \mathbb{R} - \{3\}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = \mathbb{R} - \{3\}}$

$\mathbf{Problema\ 6}$

Hallar el dominio de la siguiente función

$f(x) = \left \| x^{2} \right \|$

RESOLUCIÓN

El procedimiento es análogo al anterior.

Entonces el dominio de la función $f(x)$ será.

$Dom_{f} = \mathbb{R}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = \mathbb{R}}$