Question

Se tiene un cilindro inscrito en una esfera. Si la altura del cilindro es igual al radio de la esfera, y el volumen de la esfera es 288π cm3, calcular el volumen comprendido entre la esfera y el cilindro.

Answer 1

Tarea:

Se tiene un cilindro inscrito en una esfera. Si la altura del cilindro es igual al radio de la esfera, y el volumen de la esfera es 288π cm³, calcular el volumen comprendido entre la esfera y el cilindro.

Respuesta:

El volumen pedido es de 126π  cm³

Explicación paso a paso:

Está claro que el volumen pedido es la diferencia entre el volumen de la esfera y el del cilindro.

El volumen de la esfera ya nos lo dan. Ahora toca calcular el del cilindro y para ello hay que saber el radio que tienen los círculos que forman las bases.

Para ello fíjate en la figura adjunta donde te he dejado bastante detallado cómo llegar a calcularlo.

Primero calculamos el radio de la esfera ya que nos dan su volumen y la fórmula dice:

$V=\dfrac{4*\pi*r^3}{3} \ ... despejo\ el\ radio...\\ \\ \\ r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} =\sqrt[3]{\dfrac{3*288*\pi }{4*\pi}}=\sqrt[3]{216} =6\ cm.$

Conocido el radio de la esfera, puedes ver el triángulo rectángulo que se forma entre él (hipotenusa), la mitad de la altura del cilindro (cateto menor) ---puesto que al estar inscrito el cilindro en la esfera, implica que comparten el mismo centro--- y el radio de la base del cilindro (cateto mayor) que es lo que queremos conocer.  Aplicamos Pitágoras:

$R^2=C^2=H^2-c^2=6^2-3^2=36-9=27$

He dejado el valor del cateto elevado al cuadrado ---que recordemos que es el radio de la base del cilindro--- porque ya nos valdrá así para calcular el área del mismo ya que es:

$A=\pi *R^2=27\pi \ cm^2$

Queda ahora multiplicar por la altura del cilindro para conocer su volumen y finalmente restarlo del volumen de la esfera:

Volumen cilindro = 27π × 6 = 162π cm³

Y efectuando la resta:  288π - 162π = 126π  cm³

Saludos.