Question

3. El dueño de un hotel que cuenta con 60 habitaciones ha encontrado que puede rentarlas todas a un precio de $200.00 diarios. Sin embargo, por cada aumento de $5.00 en la renta perderá un cliente.
a) ¿Cuál debe ser el aumento en la renta para obtener el máximo ingreso?
b) Grafica la función obtenida.
c) ¿Cuál es el ingreso máximo?
d) Si perdió 37 clientes, ¿cuál es el costo de la habitación?

Answer 1

precio de la habitación, y x al Número de habitaciones alquiladas, la utilidad será igual a:

Y= P*x


Además:

si P= 200 entonces x= 60


si P= 205 entonces x= 59


si P = 210 entonces x= 58


Entonces:


x= 60-(P-200)/5

Y= P*(60-(P-200)/5)


Y= 60P- P²/5+40P = - P²/5+100P


Hallamos la primera derivada


Y’ = -2P/5+100


Igualamos a cero:


-2P/5+100 = 0


-2P/5= -100


-2P= -100*5 = -500


P = 500/2 = 250.


Entonces un punto critico es P= 250.  

Encontramos la segunda derivada:

Y’’= -2/5 < 0


Como la segunda derivada es negativa por criterio de la segunda derivada el punto critico es un máximo. Por lo tanto para que la utilidad sea máxima el precio P debe ser igual a $250 en este caso se alquilaran:


x= 60-(250-200)/5= 60-10 = 50 habitaciones


y la utilidad será:


Y= $250*50


Y= $12500

Para graficar, vemos intersección con P (Y= 0)

0 = - P²/5+100P

P= 0 ó

-P/5+100 = 0

P/5= 100


P= 500

Puntos: (500,0) y (0,0)


Intersección con y (P= 0)


Y= - 0²/5+100*0 = 0


Punto: (0,0)


En la imagen de arriba se observa el bosquejo de la gráfica de Y  y el máximo de la misma.