Question

ALGUIEN QUE ME AYUDE CON ESTA INTEGRAL!!!

Answer 1

Hola..!! , Veamos

              INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método usualmente se utiliza cuando hay una multiplicación pero indirectamente también existe el método de sustitución en el cual se puede resolver el problema pero seria mas complicado  atacar por allí a este ejercicio por lo  enunciare :

                                  $\int v.dw=v.w-\int w.dv$

obs: en esta tarea explico detalladamente el uso del método y de donde sale

        https://brainly.lat/tarea/24979592

EJEMPLO  :

                                   $\int ln^2(x+\sqrt{1+x^2})dx$

sea:

                $v=ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dw=1.dx$

        $dv=2ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{1+\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} }{x+\sqrt{1+x^2}}}\right )dx\\ \\dv=2ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2} } \right).dx$      

aplicando el método

$\int ln^2(x+\sqrt{1+x^2})dx=x.ln^2(x+\sqrt{1+x^2})-2\int x.ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2} } \right).dx$

Ahora lo que nos queda por hallar es

                          $I=2\int ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } \right).dx$

sea:

          $k=ln(x+\sqrt{1+x^{2} } )\\ \\ dk=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^{2} } } dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dp=\cfrac{x}{\sqrt{1+x^{2} } } dx \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p=\sqrt{1+x^{2} }$

usamos nuevamente el método

  $\int ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } \right).dx= ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\sqrt{1+x^{2} } - \int \frac{\sqrt{1+x^{2} } }{\sqrt{1+x^{2}} } dx$

 $\int ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } \right).dx= ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\sqrt{1+x^{2} } - \int dx$

 $\int ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\left(\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } \right).dx= ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\sqrt{1+x^{2} } - x$

por lo que :

$I= 2 ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\sqrt{1+x^{2} } - 2x$

remplazando en la ecuación original

$\int ln^2(x+\sqrt{1+x^2})dx=x.ln^2(x+\sqrt{1+x^2})- 2 ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\sqrt{1+x^{2} } +2x$

como es una integral indefinida se le agrega su cte de integración

luego :

$\int ln^2(x+\sqrt{1+x^2})dx=x.ln^2(x+\sqrt{1+x^2})- 2 ln(x+ \sqrt{1+x^2}).\sqrt{1+x^{2} } +2x+C$

Un cordial saludo.