Question

En un hotel de bahia hay 120 personas distribuidas entre la recepcion, el bar, el comedor y el salon de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de las que hay en el comedor; en la recepcion hay un octavode las que hay en el salon. Al pasar diez personas del comedor al salon y seis del bar a la receocion,en la recepcion hay un sexto de las que quedan en el comedor ¿cuantas personas habia inicialmenteen cada uno de los lugares mencionados del hotel?

Answer 1

Respuesta:

4 en la Recepción + 14 en el Bar +70 en en el Comedor +32 en el Salón

Explicación paso a paso:

Hay varias formas de plantear las ecuaciones, pero vamos a trabajar con la más intuitiva:

Denominamos por las iniciales a cada lugar:  R= Recepción; B=Bar; C=Comedor y S=Salón

La suma de las personas que hay en cada lugar es igual a 120. Entonces planteamos:

R + B + C + S = 120  Esta es la ecuación 1.

El problema dice que en B hay 1/5 de lo que hay en C. Por tanto:

$B=\frac{C}{5}$  o C = 5B

El problema dice que en R hay 1/8 de lo que hay en S. Por tanto:

$R=\frac{S}{8}$    o  S = 8R

El problema dice que 10 personas salen de C  y que 6 personas entran a R, es decir:   C-10   y  R+6

Sumadas o teniendo en cuenta esas seis personas que entraron a R, el problema dice que el nuevo número de R es 1/6 de lo que quedó en el comedor. Por tanto:

$R+6=\frac{C-10}{6}$

Pero ya sabemos que C = 5B, entonces reemplazamos y tenemos:

$R+6=\frac{5B-10}{6}$  

Ahora despejemos R. Para eso pasamos 6 a restar al otro lado y tenemos:

 $R=\frac{5B}{6}-\frac{10}{6}-\frac{6}{1}=\frac{5B}{6}-\frac{5}{3}-\frac{6}{1}$

Lo que hicimos en el paso anterior fue organizar las fracciones, ubicamos el denominador 6 en forma separada para 5B y para – 10, simplificamos lo que se podía y pusimos 1 como denominador a 6, para así poder hacer la resta.

Ahora operemos:

$R=\frac{5B-10-36}{6}=\frac{5B-46}{6}$

Con eso hemos logrado tener R expresado en términos de B.

Ya sabíamos que C = 5B, ahora tenemos que expresar S en términos de B.

Miramos el problema y encontramos que nos dice: En la recepción hay 1/8 de lo que hay en el salón.

Es decir:  $R=\frac{S}{8}$

Si despejamos S, tenemos: S= 8R y ya tenemos R expresado en términos de B.  

Hemos expresado todo en términos de B, entonces podemos reemplazar en la ecuación 1.

 $\frac{5B-46}{6}+B+5B+8(\frac{5B-46}{6})=120$

Operamos:

$\frac{5B-46}{6}+B+5B+(\frac{40B-368}{6})=120$

Ponemos 1 como denominador a B y 5B. Tomamos denominador común a 6 y operamos:

$\frac{81B-414}{6}=120$

Por tanto:  81B – 414 = 720 porque pasamos 6 a multiplicar a 120 al otro lado  de la igualdad

Pasamos la cantidad negativa a sumar al otro lado:

81B = 720 + 414;    81B = 1134;  

$B=\frac{1134}{81}=14$

Tenemos el primer dato, es decir: en al Bar había 14 personas inicialmente.

Ahora averiguamos cuántas había en el comedor:

C= 5B, por tanto C= 5x14.   C= 70.  Tenemos el segundo dato

De esas 70 iniciales, 10 se fueron, es decir quedaron 60. El problema nos dice que el nuevo número de personas de la recepción, es decir, el número inicial más las 6 que le llegaron del bar, es 1/10 del número que quedó en el comedor. Entonces:

1/10 de 60 = 10 personas.  

De esas 10 restamos las 6 que llegaron, para saber el número inicial: R=10-6= 4 personas

Tenemos el tercer dato: En la recepción había inicialmente 4 personas

Y, finalmente, averiguamos el número inicial del Salón:

S= 8R    Si R es 4, entonces S=8x4   S=32

En el salón había 32 personas.

Ahora comprobemos:   R + B + C + S = 120    4+14+70+32 = 120 personas