Question

DEMOSTRAR

Sea S={[Ak]|[Ak] es una sucesión de Cauchy.Entonces S es un anillo conmutativo con un elemento de unidad bajo las operaciones de adición y multiplicación que se dan en las definiciones :

* [Ak]+[Bk]=[Ak+Bk]

* [Ak]×[Bk]=[Ak×Bk]

Answer 1

Como $A_k$ y $B_k$ pertenecen a S, entonces (omitiendo lo obvio concerniente a la definición de tal sucesión)

$|A_m-A_n|<\epsilon/2\\\\|B_m-B_n|<\epsilon/2\\\\\text{Sumando tenemos}\\\\|A_m-A_n|+|B_m-B_n|<\epsilon\\\\\text{Por la propiedad de la desigualdad triangular:}\\\\\\\left|(A_m-A_n)+(B_m-B_n)\right|<\epsilon\\\\\\\text{Por ende }[A_k+B_k]\in S$

Si tenemos ahora que

$|A_m-A_n|<\sqrt{\varepsilon}\\|B_m-B_n|<\sqrt{\varepsilon}\\\\\text{Multiplicamos...}\\\\|A_m-A_n||B_m-B_n|<\varepsilon\\|(A_m-A_n)(B_m-B_n)|<\varepsilon\\\\\\\text{Por ende } [A_k]\times[B_k]\in S$

Hasta aquí tenemos la cerradura para ambas operaciones

La conmutatividad y asociatividad lo heredan de las operaciones usuales de suma y multiplicación (término a término: $A_k+B_k$ y $A_k\times B_k$)

El elemento neutro para la suma es la sucesión [0] y el elemento simétrico de $[A_k]$ es $[-A_k]$

El elemento neutro para la multiplicación es la sucesión [1]

Con esto demostramos que S es un anillo conmutativo con un elemento de unidad: $\left(S,+,\times, [1]\right)$

Answer 2

Respuesta:

carlosMath

Explicación paso a paso: