Question

- Determinar el valor de B para que la recta: 3x - By + 4 = 0, sea perpendicular a la recta que pasando por el punto M(-2 ; 3), forma con los ejes un triángulo de área 4u2.

Answer 1

Determinar el valor de B para que la recta: 3x - By + 4 = 0 sea perpendicular a la recta que pasando por el punto M(-2 ; 3), forma con los ejes un triángulo de área 4u².

Respuesta:

B = 27/8

Explicación paso a paso:

Llamamos r: 3x - By + 4 = 0  ⇒

r: 3x + 4 = By   ⇒  y = (3x + 4)/B   ⇒

r: y = 3x/B + 4/B  ⇒  mr = 3/B

Llamamos s a la recta Perpendicular a r:

s pasa por M  ⇒     M(-2 ; 3) ∈ s       Área = 4 u²

Sabemos que el Área de un Triangulo:  A = base × altura/2

A = b × h/2

4 = b × 3/2  ⇒

8 = 3b ⇒ b = 8/3  ⇒ Para que el Triangulo tenga Área = 4 u², la base debe medir 8/3 (en el eje x) y la altura 3 (en el eje y).

Para corroborar verificamos esto:

A = b × h/2

4 = 8/3 × 3/2

4 = 24/6   ⇒ 4 = 4 Verifica

La recta s pasa por M(-2; 3) y por N(2/3)

2 + 2/3 = 6/3 + 2/3 = 8/3 base del Δ ⇒ Coordenada en x de N = 2/3  ⇒

N ∈ s

Tenemos las coordenadas de 2 Puntos, por lo tanto estamos en condiciones de hallar la pendiente de la recta que pasa por ellos:

M(-2 ; 3)    ;     N(2/3 ; 0)

m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

m = (0 - 3)/(2/3 - (-2))

m = -3/(2/3 + 2)

m = -3/(2/3 + 6/3)

m = -3/8/3  ⇒   m = -3 × 3/8   ;  Dividir = multiplicar por su inverso  ⇒

ms = -9/8   Pendiente de la Recta s

Sabemos que para que 2 rectas sean Perpendiculares sus pendientes deben ser opuestas e inversas:

r ⊥ s  ⇔ mr = -1/ms

3/B = -1/-9/8  ⇒  

3/B = 8/9  ⇒

3 × 9 = 8B ⇒

27 = 8B  ⇒  

B = 27/8

Verifico:      

r:     y = 3x/27/8 +4/27/8  

r:     y = 24x/27 + 32/27  ⇒   mr = 24/27 = 8/9

mr = 8/9      

ms = -9/8  

mr = -1/ms

8/9 = -1/-9/8  ⇒

8/9 = 8/9  Verifica

Adjunto esquema grafico para mejor comprensión y como otra  forma de  verificación.

Saludos!!!!