Question

Sea la función racional (en donde el numerador es la función cuadratica g (x) y el dominador de la función de segundo grado h (x) )

F(x) = x^2-x-12/x^2-2x-8


1)Determine las raíces de g (x) y su dominio
2)determine el vértice de h (x) y su rango
3)determine el rango y dominio de la función f (x)
4) expliqué si se trata de una función continua o discontinua
5) en su caso, explique la existencia de una asintota de la función
6) cual es el límite de la función cuando x tiende a -2?

Answer 1

Sea $F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{2}-x-12}{x^{2}-2x-8}$ entonces:

$g(x)=x^{2}-x-12$  y  $h(x)=x^{2}-2x-8$

1) Las raíces de la función $g$ son aquellos puntos donde $g(x)=0$. Es decir, $x^{2}-x-12 = 0$. Para resolver esta ecuación se aplica la fórmula resolvente. Esta nos da dos soluciones: -3 y 4. Por lo tanto, las raíces son x=-3 y x=4. La función es polinómica, y el dominio de todas las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales. Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales.

2)El vértice de $h$ es el punto mínimo o máximo de la función. La fórmula para hallar el valor $x$ del vértice de una cuadrática es $\frac{-b}{2a}$, que en este caso equivale a 4/2 = 2. Para hallar el valor $y$ del vértice, se reemplaza el $x$ encontrado en la fórmula original: $y=2^{2}-2*2-8=4-4-8=-8$. Por tanto, el vértice es (2;-8). El rango de una función es el conjunto de valores de $y$ que asume dicha función. En este caso, la función tiene un mínimo en $y=-8$ (es el vértice que acabamos de encontrar) y luego asciende infinitamente. Entonces, el rango es [-8;+∞).

3) Siendo $F$ una función racional, el único punto donde no está definida es donde $h(x)$ vale cero. Aplicamos la resolvente y así averiguamos que la función $h$ vale cero en x=-2 y x=4. Por lo tanto, el dominio de la función $F$ es el conjunto de los reales, excepto por esos dos puntos. Dicho de otra forma, el dominio es (-∞;-2)∪(-2;4)∪(4;+∞). El rango es (-∞;-1)∪(-1;1.167)∪(1.167;+∞).

4) Decimos que la función es discontinua porque existen puntos dentro del límite inferior y superior del dominio donde la función no está definida.

5) Existe una asíntota horizontal en $y=1$ porque $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$. Existe una asíntota vertical en $x=-2$ porque $\lim_{x \to -2} F(x) = +-\infty$.

6) Los límites laterales difieren, como se expresó en el inciso anterior (uno tiende al infinito positivo y otro al infinito negativo). Por lo tanto, el límite no existe.