Question

Hallar la ecuación general ecuación simple coordenadas del centro, radio de los siguientes puntos A(-2,4), B(3,1), C(-7,1)

Answer 1

Respuesta:

ecuacion general $x^{2}+y^{2}$ + 4x + 10x/3 - 76/3 = 0

centro = (-2,-5/3)

radio = 17/3

Explicación paso a paso:

para ello cogemos la formula de ecuacion general de la circunferencia

$x^{2}+y^{2}$ + Cx + Dy + E = 0

en esta reemplazamos los diferentes puntos que nos dieron para formar un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

A = $(-2)^{2}+(4)^{2}$ + C(-2) + D(4) + E = 0

4 + 16 -2C + 4D + E = 0

20 - 2C + 4D + E = 0

-2C + 4D + E = -20     ecuacion 1

B = $(3)^{2}+(1)^{2}$ + C(3) + D(1) + E = 0

9 + 1 + 3C + D + E = 0

10 + 3C + D + E = 0

3C + D + E = -10        ecuacion 2

C = $(-7)^{2}+(1)^{2}$ + C(-7) + D(1) + E = 0

49 + 1 - 7C + D + E = 0

50 - 7C + D + E = 0

-7C + D + E = -50    ecuacion 3

ya tenemos el sistema de ecuaciones y lo vamos a resolver por reducción

entonces a la ecuacion 2 le restamos la ecuacion 3 para eliminar las D y E y calcular el valor de C

3C + D + E = -10

7C - D - E = 50

10C = 40

C = 40/10

C = 4

a la ecuacion 1 le restamos la ecuacion 3 para eliminar a E y obtenemos una ecuacion con dos incógnitas que vamos a llamar ecuacion 4

-2C + 4D + E = -20

7C -   D  -  E  = 50

5C  + 3D = 30       ecuacion 4

reemplazamos a C en la ecuacion 4 para hallar el valor de D

5(4) + 3D = 30

20 + 3D = 30

3D = 30 - 20

3D = 10

D = 10/3

reemplazamos a C y D en la ecuacion 1 para hallar el valor de E

-2(4) + 4(10/3) + E = -20

-8 + 40/3 + E = -20

16/3 + E = -20

E = -20-16/3

E = -76/3

ahora reemplazamos  a C, D y E en la formula de la ecuacion general de la circunferencia

$x^{2}+y^{2}$ + 4x + 10y/3 - 76/3 = 0  ecuacion general

agrupamos las x y las y

($x^{2}+4x)+(y^{2}+10y/3)=76/3$

completamos los trinomios cuadrado perfectos

$(x^{2}+4x+4)+(y^{2}+10y/3+25/9)$=76/3 + 4 + 25/9

factorizamos los trinomios cuadrados perfectos y reducimos términos semejantes

$(x+2)^{2}+(y+5/3)^{2}$=289/9   ecuacion canónica

C = (-2,-5/3)

R = $\sqrt{(289/9)}$

R = 17/3