Question

Con una lámina cuadrada de aluminio de 12 pulgadas por lado, se requiere construir una caja sin tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuánto deben medir por lado los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo?, ¿Cuánto mide dicho volumen máximo?

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos que plantear el volumen de una paralelepípedo, para ello tenemos que:  

V = base · altura · ancho

Entonces, sabemos que la base es cuadrada, y se cortará trozos de longitud 'x', entonces:

V = (12-2x)·(12-2x)·x

Simplificamos y tenemos que:

V = (144 - 48x + 4x²)·x

V = 144x - 48x² + 4x³

Necesitamos que el volumen sea máximo, por tanto derivamos respecto a x, tenemos:

dV/dx = 144 - 96x + 12x²

Igualamos a cero para encontrar los puntos máximos, tenemos:

144 - 96x + 12x² = 0

• x₁ = 6
• x₂ = 2

Debemos escojer el menor, porque el mayor produce una incongruencia.

Entonces, tenemos que:

• Altura = 2 in
• Ancho = 12 - 4 = 8 in
• Largo = 12 - 4 = 8 in

Entonces, el volumen total será:

V = (2in)·(8in)·(8in)

V = 128 in³