1. La superficie de un edificio responde a la ecuación 2 2 2 x y z 4R sobre uno de sus lados se esta construyendo un hotel en forma de cilindro de radio R. La temperatura viene dada por 2 2 2 T(x; y;z) 3x ( y R) 16z , la función de densidad de flujo como V =−k ∇ T ; donde k es una constante que depende de los materiales. a) Determinar el flujo de V a través de la superficie de contacto entre el hotel y el edificio
Respuestas
RESPUESTA:
Adjunto podemos ver el link de la pregunta completa, tenemos lo siguiente:
x²+y²+z=4R² → Ecuación de la superficie
T(x,y,z)=3x²+(y-R)²+16z² → Ecuación de temperatura
Ahora, debemos dejar la temperatura en función solamente de (x,y,z), por tanto, sustituiremos la primera ecuación en la segunda:
T(x,y,z) = 3x² + (y-0.5·√x²+y²+z)² + 16z²
Ahora, el flujo viene dada por al gradiente, por tanto, buscaremos las derivadas parciales.
dT/dx = 6x + 2(y-0.5·√x²+y²+z)·(x/√x²+y²+z)
dT/dy = 2(y-0.5·√x²+y²+z)·(1 + y/√x²+y²+z)
dT/dz = 2(y-0.5·√x²+y²+z)·(1/√x²+y²+z)
Entonces, el flujo en la superficie será:
V = -K · (dT/dx, dT/dy, dT/dz)
Solamente queda sustituir cada expresión es su punto, sin embargo, debido a la complicado, se suele dejar expresado.
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