Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 12000 [ft3] de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por [ft2] y el material para construir la tapa cuesta $200 por pie cuadrado ¿cuáles son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?
Respuestas
Respuesta.
Para resolver este problema se tiene que la función objetivo es la siguiente:
C = 100*Al + 200*At
Las ecuaciones para el área son las siguientes:
Al = L*H
At = H*T
El volumen es:
V = L*H*T
Datos:
V = 12000 ft³
Sustituyendo:
12000 = L*H*T
T = 12000/LH
Sustituyendo:
Al = L*H
At = H*12000/LH
At = 12000/L
Sustituyendo:
C = 100*L*H + 200*12000/L
Derivando:
0 = 100H - 2400000/L²
24000 = L²*H
L = 49 ft
Por lo tanto:
H = 25 ft
T = 12 ft
Respuesta:
Las dimensiones de la cisterna son y=30 ft y x=20 ft.
Explicación:
El volumen es igual a 12000 ft.
V=x^2*y
Sustituimos:
12000=x^2*y
x=(12000/y)^(1/2)
El área de la tapa y de la base es:
Ab=x^2
sustituimos:
Ab=12000/y
El área lateral es es:
Al=x*y
sustituimos:
Al=((12000/y)^(1/2))*y
Al=(12000*y)^(1/2)
Para resolver este problema se tiene que la función objetivo es la siguiente:
C(x,y) = 100*(4*Al+Ab) + 200*Ab
C(x,y)= 400*Al+100*Ab + 200*Ab
Sustituimos:
C(y) = 400*((12000*y)^(1/2))+100*(12000/y) + 200*(12000/y)
C(y)= 400*((12000*y)^(1/2))+3600000/y
Primera derivada:
C'(y) = 400*(12000/(2*(12000*y)^(1/2)))-3600000/y^2
C'(y) = 2400000/((12000*y)^(1/2)))-3600000/y^2
Igualamos a cero:
0 = 2400000/((12000*y)^(1/2)))-3600000/y
3600000/y^2= 2400000/((12000*y)^(1/2)))
Dividimos para 1200000:
3/2=(y^2)/((12000*y)^(1/2))
9/4=(y^4)/(12000*y)
9/4=(y^3)/(12000)
y=(12000*(9/4))^1/3
y=30 ft
reemplazamos en la función de volumen:
x=(12000/y)^(1/2)
x=(12000/30)^(1/2)
x=20 ft
Explicación: