Tenemos un número N de cuatro cifras que es un cuadrado perfecto y todas sus cifras son menores que 9
Si a cada cifra se le suma una unidad,el número resultante es también un cuadrado perfecto.
Calcula el número N
Respuestas
Respuesta:
El número es 2025
Explicación paso a paso:
Se puede hacer de muchas formas.
Te explico 2 formas:
Método 1- Como N es un cuadrado perfecto hay un número x tal que x²=N
Como N tiene 4 cifras el número x estará comprendido entre 32 y 100 (ya que 31²=961 y tiene 3 cifras y 100²=10000 que tiene 5 cifras.
Cuando le sumamos una unidad a cada cifra le estamos sumando el número 1111 que también es un cuadrado perfecto de cuatro cifras por lo que tenemos que habrá otro número que llamamos "y" que cumple: y²=N+1111
En esa última expresión sustituimos N por x² y tenemos una expresión:
y² = x² +1111
Haciendo la raíz cuadrada se obtiene una expresión y = √(x²+1111)
Si utilizas una hoja de cálculo (Excel o libreoffice) e introduces la expresión para valores de 32 a 100 tenemos que hay un caso en el que sale exacto: 45 y 56. Por lo tanto tenemos que 45²=2025 y 56²=3136 que cumplen las condiciones del enunciado.
Método 2:
Este es un método más algebraico y no necesita hoja de cálculo.
Hacemos las mismas suposiciones de antes.
Como N es un cuadrado perfecto hay un número "x" tal que x²=N
Cuando le sumamos una unidad a cada cifra le estamos sumando el número 1111 que también es un cuadrado perfecto de un número que será mayor "n" unidades que "x" por lo que tenemos que cumple: (x+n)²=N+1111
Como N=x² sustituyendo tenemos la ecuación:
(x+n)² = x² + 1111
elevamos al cuadrado el binomio:
x² + 2xn + n² = x² + 1111
quitamos las x²
2xn + n² = 1111
sacamos factor común la n:
n · (2x+n) = 1111
Pasamos la n a dividir al otro miembro y tenemos que:
2x + n = 1111/n
Pero como x y n son naturales el cociente 1111/n ha de dar exacto por lo que n tiene que ser un divisor de 1111
Los divisores de 1111 son 11 y 101
El valor 101 hay que descartarlo porque ha de estar comprendido entre 32 y 100 por lo que tenemos que n = 11
Entonces tenemos que: 2x + 11 = 1111/11 --> 2x + 11 = 101 --> 2x = 90 --> x=45
Como N = x² el número es N = 45² = 2025