Dada f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10), los intervalos donde la función f(x)
es creciente y decreciente son:
La función crece (−6,5)∪(3,∞)
y decrece (−∞,−6)∪(3,10)
La función crece (−∞,∞)
La función crece (10,∞)
y decrece (−∞,−6)∪(5,10)
La función crece (−6,5)∪(10,∞)
y decrece (−∞,−6)∪(5,10)
Respuestas
Respuesta:
La función crece (−6,5)∪(10,∞)
y decrece (−∞,−6)∪(5,10)
Explicación paso a paso:
Dada la función que tenemos, sabemos que lo primero que vamos a evaluar es los puntos de la función donde existen máximos o mínimos:
f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10)
Para ello igualaremos a cero la primera derivada:
f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10)=0
Entonce se hace cero en:
X=10
X=-6
X=5
De forma tal que ahora evaluaremos la segunda derivada en cada uno de los puntos.
f'′(x)=(x+6)(x−10)+(x−5)(x−10)+(x−5)(x+6)
Ahora evaluamos en los puntos dados:
X=10
f'′(10)=(10−5)(10+6)= 80 > 0 por lo tanto es un mínimo.
X=-6
f'′(6)=(-6−5)(-6−10) = 1800 > 0 pòr lo tanto es un mínimo.
X=5
f'′(x)=(5+6)(5−10) = -55 <0 Por lo tanto es un maximo
Entonces la función es:
-(∞,-6) Decrece.
(-6,5) la función Crece
(5,10)la función decrece,
(10-∞) la función crece
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si a medida que x aumente f(x) también aumenta y es decreciente si a medida que x aumenta f(x) disminuye, la función dada f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10) los intervalos donde la función f(x) es creciente y decreciente son:
- Decreciente en: (-∞, -6) U (5,10)
- Creciente en: (-6, 5) U (10,∞)
Explicación paso a paso:
- Función creciente: una función f(x) es creciente en un campo F si se cumple que si a > b entonces f(a) > f(b) ∀ a,b ∈ F
- Función decreciente: una función f(x) es decreciente en un campo F si se cumple que si a > b entonces f(a) < f(b) ∀ a,b ∈ F
Puntos críticos:
El punto critico de una función es un punto donde la primera derivada de la misma sea cero, estos puntos son los candidatos a mínimos y máximos de funciones, aunque en ocasiones son puntos sillas.
Criterio de la primera derivada para funciones crecientes y decreciente:
- Si una función es continua en un intervalo [a,b] y derivable en (a,b) además f'(x) < 0 ∀ x ∈ (a,b) entonces la función es decreciente en [a,b]
- Si una función es continua en un intervalo [a,b] y derivable en (a,b) además f'(x) > 0 0 ∀ x ∈ (a,b) entonces la función es decreciente en [a,b]
Criterio de la segunda derivada para mínimos y máximos: sea x* un punto critico de f(x) y sea f''(x) la segunda derivada, entonces si:
- f''(x*) < 0, x* es un máximo local
- f''(x*) > 0, x* es un mínimo local
Tenemos la función
f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10)
Igualamos a cero la primera derivada:
f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10)=0
⇒ x = 10; x = -6 ó x = 5
Estos son los puntos críticos, la función es continua y derivable en R, veamos como es el signo alrededor de ellos de la primera derivada, usando el método del cementerio:
Función/intervalo -∞ -6 5 10 ∞
(x - 5) - - + +
(x + 6) - + + +
(x - 10) - - - +
(x-5)*(x+6)*(x-10) - + - +
Por lo tanto, por criterio de la primera derivada:
- (-∞, -6) es decreciente
- (-6, 5) es creciente
- (5,10) es decreciente
- (10,∞) es creciente
Comprobemos demostrando que: -6 es un mínimo local, 5 es un máximo local, 10 es un mínimo local
La segunda derivada es:
f'′(x)=(x + 6)(x − 10)+(x − 5)(x − 10) + (x −5)(x + 6)
Evaluamos en los puntos dados:
- x = -6
⇒ f''(x) = (-6 + 6)(-6 − 10) + (-6 − 5)(-6 − 10) + (-6 − 5)(-6 + 6) = 176 > 0 es un mínimo local
- x = 5
⇒ f''(x) = (5 + 6)(5 − 10) + (5 − 5)(5 − 10) + (5 − 5)(5 + 6) = -55 < 0 es un máximo local
- x = 10
⇒ f''(x) = (10 + 6)(10 − 10) + (10 − 5)(10 − 10) + (10 − 5)(10 + 6) = 80 > 0 es un mínimo local
Dada f′(x)=(x−5)(x+6)(x−10) los intervalos donde la función f(x) es creciente y decreciente son: (-∞, -6) U (5,10) es decreciente y (-6, 5) U (10,∞) es creciente
Para más información puedes visitar:
Criterio de la segunda derivada
https://brainly.lat/tarea/2608759
Criterio de la primera derivada para mínimos y máximos
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Aplicación del criterio de la primera derivada
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Asignatura: Matemática
Nivel: Universidad