Question

¡¡Ayuda!!
Me topé con este ejercicio y realmente no encuentro forma alguna de resolverlo, según la hoja de soluciones la respuesta es 24.

Answer 1

se resuelve con propiedades de potencias y raíces (aver si lo resuelvoXD)
$\\ \\ \sqrt[n]{ \frac{ {3}^{n} + {6}^{n} + 8 {}^{n} }{3 {}^{ - n} + {4}^{ - n} + 8 {}^{ - n} } }$
Primero la raíz se distribuye en el producto y cociente entonces:
$\\ \\ \frac{ \sqrt[n]{ {3}^{n} + {6}^{n} + {8}^{n} } }{ \sqrt[n]{ {3}^{ - n} + {4}^{ - n} + {8}^{ - n} } }$
segundo (Trabajo con el denominador con lo que está en la raíz ) invierto los que están elevados a "-N"
$\\ \\ \sqrt{ + {3}^{ - n} + {4}^{ - n} + {8}^{ - n} } = \sqrt{ \frac{1}{ {3}^{n} } + \frac{1}{ {4}^{n} } + \frac{1}{ {8}^{n} } }$
busco un mínimo común múltiplo, eso lo hago multiplcando todos los factores de los denominadores.
$\\ \\ \\ \sqrt{ \frac{ {4}^{n} {8}^{n} + {3}^{n} {8}^{n} + {4}^{n} {3}^{n} }{ {3}^{n} {4}^{n} {8}^{n} } }$
usando la siguiente propiedad de las potencias
$\\ \\ {a}^{b} {c}^{b} = {(ac)}^{b}$
queda
$\\ \\ \sqrt[n] { \frac{ {(8 \times 4)}^{n} + {(3 \times 8)}^{n} + {(3 \times 4)}^{n} }{ {(3 \times 4 \times 8)}^{n} } }$

usando la propiedad de que la raíz se distribuye en el cociente:
$\\ \\ \frac{ \sqrt[n]{ {32}^{n} + {24}^{n} + {12}^{n} } }{ \sqrt[n]{ {(3 \times 4 \times 8)}^{n} } }$
usando La siguiente propiedad:
$\\ \\ \sqrt[c]{ {a}^{c} } = a$

entonces queda:
$\\ \\ \frac{ \sqrt[n]{ {32}^{n} + {24}^{n} + {12}^{n} } }{3 \times 4 \times 8}$

ahora quiero que esto (1)

$\sqrt[n]{ {32}^{n} + {24}^{n} + {12}^{n} }$

se paresca a:
$\\ \sqrt[n]{ {3}^{n} + {6}^{n} + {8}^{n} }$

sabiendo que:
$\\ 4 \times 3 = 12 \\ \\ 4 \times 6 = 24 \\ \\ 4 \times 8 = 32$
entonces, puedo reescribir (1) de la siguiente manera:

$\sqrt[n]{ {(8 \times 4)}^{n} + {(4 \times 6)}^{n} + {(4 \times 3)}^{n} }$

distribuyendo la potencia en el producto, queda:
$\\ \\ \sqrt[n]{ {4}^{n} {8}^{n} + {4}^{n} {6}^{n} + {4}^{n} {3}^{n} }$
saco factor común 4^n, entonces queda:
$\\ \\ \sqrt[n]{ {4}^{n}( {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} ) }$

distribuyendo la raíz en el producto queda
$\\ \\ \sqrt[n]{ {4}^{n} } \times \sqrt[n]{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} }$
reduciendo queda:
$\\ 4 \times \sqrt{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} }$


Ya tengo el denominador reducido

$\\ \\ \frac{4 \times \sqrt[n]{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} } }{3 \times 4 \times 8}$
volvemos a la ecuación del Primer paso:
$\\ \\ \frac{ \sqrt[n]{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} } }{ (\frac{4 \times \sqrt[n]{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} } }{8 \times 4 \times 3} )}$
usando La propiedad de división de fracciones:
$\frac{a}{b} \div \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$

entonces queda:
$\\ \\ \sqrt[n]{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} } \times \frac{8 \times 4 \times 3}{4 \times \sqrt[n]{ {8}^{n} + {6}^{n} + {3}^{n} } }$

ahora la raíz y el cuatro se simplifican quedando:
$\\ \\ 8 \times 3 = 24$


listo espero que puedas entenderlo