Question

desde lo alto de un edificio y en una misma direccion se observan dos autos con angulo de depresion de 37 y 53 . si la altura del edificio es 48 m . ¿ cual es la distancia entre los dos autos ? AYUDA PORFAVOR CON GRAFICO

Answer 1

La distancia entre los dos autos es de 28 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 es lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El triángulo ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del edificio, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del edificio hasta el auto más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta un auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 37°

Y el triángulo BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura del edificio, el lado CB que es la distancia desde la base del edificio hasta el auto más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta el otro auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar la distancia entre los dos autos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta el auto más lejano desde la base del edificio

E "y" la distancia hasta el auto más cercano de la base del edificio

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre los dos autos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 37° y de 53° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura del edificio- y conocemos los ángulos de depresión de 37° y de 53° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

Razones trigonométricas con ángulos notables

En el triángulo ACD

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el auto más lejano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =37^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ edificio \ }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 48 \ m \ }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 48 \ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{192 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 64 \ metros } }$

Luego la distancia x - hasta el auto más lejano- es de 64 metros

En el triángulo BCD

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el auto más cercano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo  β $\bold{\beta = 53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ edificio \ }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 48 \ m \ }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 48 \ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{144 }{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 36 \ metros } }$

Por tanto la distancia y - hasta el auto más cercano- es de 36 metros

Hallamos la distancia entre los dos autos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Autos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Autos= 64 \ m -\ 36 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Autos= 28 \ metros } }$

La distancia entre los dos autos es de 28 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto