Question

Se va a construir un granero con la forma de un cilindro vertical con un techo semiesférico. El granero debe ser capaz de contener 10,000 pies cúbicos de grano. (Suponga que el grano se guarda únicamente en la parte cilíndrica y no en el techo). El techo semiesférico cuesta el doble por unidad de área que la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones debe tener el granero para minimizar el costo total?

Answer 1

Se va a construir un granero con forma de cilindro Vertical, y con un techo semiesférico.

De forma que:

Necesitamos 10000 p3 de granos.

Volumen = 10000 p3.

Entonces:

Volumen = πr²h

De tal modo que:

Costo = 2(4πr²) + (2r*h)

despejando del volumen:

h = 10000/ πr²

sustituyendo:

Costo = 8πr²+2/r

De tal modo que:

Costo' = 16πr -2/r²

Ahora igualándolo a cero:

16πr -2/r² =0

16πr³-2=0

r= 0.34 p.

Entonces ahora sabemos si se trata de un mínimo:

Costo'' = 16π+2/r^4

Esta función siempre es positiva por lo tanto r= 0.34p es un mínimo!