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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Matriz invertible
En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que: {\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}} A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_{n} , donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Una matriz cuadrada no invertible se dice
{\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}} \begin{matrix}
A = (ei-fh) & D = -(bi-ch) & G = (bf-ce) \\
B = -(di-fg) & E = (ai-cg) & H = -(af-cd) \\
C = (dh-eg) & F = -(ah-bg) & I = (ae-bd) \\
\end{matrix}.
La inversa de una matriz, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
{\displaystyle \left(A\cdot B\right)^{-1}={B}^{-1}\cdot {A}^{-1}} \left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}
Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
{\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}} \left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}
Y, evidentemente:
{\displaystyle \left(A^{-1}\right)=A} {\displaystyle \left(A^{-1}\right)=A}
Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
{\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A^{T})\ } {\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A^{T})\ }
donde {\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}} { {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} es el determinante de A y {\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ } \operatorname{adj}{(A)} \ es la matriz de adjuntos de A, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto[1][2][3][4][5] en el artículo matriz de adjuntos).
El conjunto de matrices de nxn con componentes sobre el cuerpo {\displaystyle \mathbf {K} } {\displaystyle \mathbf {K} } que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal {\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )} {\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )} de orden n. En este grupo la operación de inversa es un automorfismo {\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )} {\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}.
Demostración de la unicidad de la inversa Editar
Supongamos que B y C son inversas de A
{\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I} {\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I}De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.
Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas Editar
Se probará la doble implicación.
Suficiencia {\displaystyle (\Rightarrow )} (\Rightarrow) Editar
Suponiendo
Suponiendo que el determinante de {\displaystyle A} A es distinto de cero, sea {\displaystyle a_{ij}} a_{ij} es el elemento ij de la matriz {\displaystyle A} A y sea {\displaystyle A_{ij}} A_{{ij}} la matriz {\displaystyle A} A sin la fila {\displaystyle i} i y la columna {\displaystyle j} j (comúnmente conocida como {\displaystyle j} j-ésimo menor de A). Entonces
{\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})} \det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})
Sea {\displaystyle k\neq j} k\neq j, entonces
{\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A} \det\left(A\right)I = \left(\mbox{adj}(A)\right)A
Es decir que {\displaystyle A} A tiene inversa izquierda
Respuesta:
Partiendo del sistema AX= b, podemos multiplicar a izquierda por la inversa de A, con lo que nos queda:
X = A -1 b (a elevado a la -1 b)
Explicación paso a paso:
No hay pasoa paso