Question

De la siguiente ecuación de la hipérbola x^2-9y^2-4x+36y-41=0 obtener su forma ordinaria y determina las coordenadas de su centro, vertices y foco, longitud de su lado recto y su excentricidad.

Answer 1

⭐Una hipérbola sigue la forma:

$\frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}} - \frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}}=1$

Tenemos la siguiente ecuación:

x² - 9y² - 4x + 36y - 41 = 0, agruparemos para realizar una completación de cuadrados

(x² - 4x) - (9y² - 36y) = 41

(x² - 4x) - 9* (y² - 4y) = 41

(x² - 4x + 4 - 4) - 9* (y² - 4y + 4 - 4) = 41

(x - 2)² - 4 - 9 * (y - 2)² + 36 = 41

(x - 2)² - 9(y - 2)² = 41 - 32

(x - 2)² - 9(y - 2)² = 9

$\frac{(x-2)^{2} }{9} - \frac{(y-2)^{2} }{1}=1$

$\frac{(x-2)^{2} }{3^{2}} - \frac{(y-2)^{2} }{1}=1$

⭐Coordenadas de su centro: (h , k) → (2 , 2)

Con a = 3 y b = 1

⭐Vértices

Para los vértices se cumple que:

Vértice 1: (h + a , k) → (2 + 3 , 2) = (5 , 2)

Vértice 2: (h - a , k) → (2 - 3 , 2) = (-1 , 2)

⭐Focos

Se cumple que c² = a² + b²

c = √3² + 1² = √10

El foco 1 es: (h + c , k) → (2 +  √10, 2)

El foco 2 es: (h - c, k) → (2 - √10 , 2)

⭐Excentricidad: La excentricidad mide la abertura de la hipérbola

$e= \frac{ \sqrt{ a^{2}+b^{2} } }{a}=\frac{ \sqrt{3^{2}+1^{2} } }{3}=\frac{\sqrt{10}}{3}$