En ciertas construcciones antiguas, y en otras recientes, el diseño del espacio en algunos salones permite escuchar en un sitio especial lo que se habla en otro lugar del mismo recinto, sin que en otros puntos se escuche la plática. Debido a esta peculiaridad, estas salas son conocidas como cámara de los secretos.
Cerca de la ciudad de México, en uno de los patios del antiguo Convento del Desierto de los Leones, podemos apreciar una de estas cámaras construida en el siglo XVII. Aprovechando una particularidad de las elipses, tales construcciones poseen una
bóveda elíptica y sitúan los focos justamente en los puntos desde los cuales se transmite o escucha el mensaje.
La ecuación 16x2 + 41y2 – 131,20y – 551,04 = 0 describe la sección elíptica de un salón con cámara de los secretos.
a) ¿A qué distancia del centro deben estar situadas dos personas para que una escuche lo que habla la otra?
b) ¿Cuál es, desde el piso, la máxima altura que alcanza la bóveda del salón?
Respuestas
RESPUESTA:
Inicialmente podemos factorizar la expresión, tenemos que:
16x² + 41y² -131.20y -551.04 = 0
16x² + 41(y² - 3.2y) - 551.04 = 0
16x² + 41[(y-1.6)² - 1.6²) = 551.04
16x² + 41(y-1.6)² = 551.04 + 41·1.6²
x²/41 + (y-1.6)²/16 = 656
Adjunto podemos sacar la gráfica de la ecuación, por tanto, tenemos que:
C(0,1.6) → CENTRO
Los ejes mayor y menor viendo siendo:
a = 6.40
b = 4
Ahora, teniendo estos datos podemos calcular el foco, tenemos que:
f = √(6.40² - 4²)
f = ±5
FOCO (0,-5) y ( 0,+5)
Por tanto, la distancia en donde no se escucharan será de foco a foco, es decir, 10 metros.
La altura máxima sera la distancia del eje menor más la distancia del centro, es decir:
h = 1.60 + 4 = 5.60
La altura máxima desde el piso tiene un valor de 5.60 metros.
