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Explicación paso a paso:
Definición de ecuación
Artículo principal: Ecuación
Dada una función f : A → B y un b en B, es decir, un elemento del codominio de f.
La igualdad f(x) = b es una ecuación.
En la ecuación dada, x se denomina incógnita.
Un ejemplo de ecuación es el siguiente, tomando
{\displaystyle {\begin{array}{crcl}f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,&f(x)&=&3x-2\\{\textrm {y}}&b&=&1\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{crcl}f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,&f(x)&=&3x-2\\{\textrm {y}}&b&=&1\end{array}}}
se tiene la ecuación con variable natural
{\displaystyle 3x-2=1.} {\displaystyle 3x-2=1.}
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto A son funciones y la aplicación f debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que se ha dado incluye las igualdades de la forma g(x) = h(x). Si «+» denota la suma de funciones, entonces (B, +) es un grupo. Basta definir la aplicación f(x) = g(x) + ( – h(x) ), con –h el inverso de h con respecto a la suma, para transformar la igualdad en una ecuación f(x) = 0 con b = 0.
Soluciones de una ecuación en n
Artículo principal: Conjunto de soluciones (matemáticas)
El conjunto solución es aquel que contiene todos los valores determinados que cumplen con la ecuación, y estos valores son denominados soluciones. Por ejemplo, la ecuación
{\displaystyle 3x-2=1} {\displaystyle 3x-2=1}
tiene a {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{1\}} {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{1\}} como su conjunto solución, con 1 como única solución de la ecuación.
En general, dada {\displaystyle f:A\to B} {\displaystyle f:A\to B} una función, y {\displaystyle f(x)=b} {\displaystyle f(x)=b} la ecuación que determina.
El conjunto {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{a_{1},a_{2},\dots \}} {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{a_{1},a_{2},\dots \}} de valores de A es el conjunto solución si se cumple {\displaystyle f(a_{i})=b} {\displaystyle f(a_{i})=b}, para los {\displaystyle a_{i}} {\displaystyle a_{i}} pertenecientes a {\displaystyle {\mathcal {S}}} {\mathcal {S}}.
El conjunto de soluciones puede ser
vacío (no hay soluciones),
unitario (existe exactamente una solución),
finito (existe un número finito de soluciones) o
infinito.
Ejemplos
Si x es un número natural, la ecuación lineal 3x+1 = 5x–3 tiene como solución única x = 2. Es decir, el conjunto solución {2} es unitario.
La ecuación x2 = –1 no tiene solución si se considera a x un número real. Esto se expresa diciendo que el conjunto solución es {}, en el sentido de que no existe ningún número real positivo que resuelve la ecuación. Puede ampliarse el conjunto sobre el cual se considera a x al de los números complejos, en cuyo caso x2 = –1 tiene como conjunto solución {i, -i}, donde i es la unidad imaginaria.
No hay ningún valor de x que satisface la ecuación x = x+1. Esto es independiente del conjunto sobre el cual está definida la variable x.
La ecuación x = x es válida para cualquier valor de x. Este tipo de igualdades se denominan identidades.
La ecuación sen(πx) = 0 tiene como solución a cualquier x entero. Es decir, en el conjunto de números enteros, esta ecuación es en realidad una identidad.