Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor de la recta x=3 la región acotada por las gráficas de y=x^2+1,x=0,x=2 y y=0. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.
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Para calcular el volumen utilizaremos el método de la arandela, tenemos que:
V = ∫ₐᵇ π·r²(x) dx
Ahora, observemos que se van a formar unos volúmenes externos y unos volúmenes interno, entonces los volúmenes internos se suman y los externos se restan. Tenemos:
V = ∫₀¹ π·(3-0)² dy + ∫₁⁵ π·(3-√(y-1))² dy - ∫₀⁵ π(3-2)² dy
Ahora, debemos resolver las integrales y realizar la evaluación:
I = ∫₀¹ π·(3-0)² dy
I = π·(9y)|₀¹
I = 9π
I = ∫₁⁵ π·(3-√(y-1))² dy
I = π∫₁⁵ 9-6√(y-1) + y-1 dy
I = π·[y²/2 + 8y - 4(y-1)^(3/2)]₁⁵
I = 12π
I = ∫₀⁵ π(3-2)² dy
I = 5π
Por tanto, el volumen será:
V = 9π + 12π - 5π
V = 16π
Por tanto, el volumen de la región es de 16π unidades cubicas de volumen.
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