Question

Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor de la recta x=3 la región acotada por las gráficas de y=x^2+1,x=0,x=2 y y=0. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.

Answer 1

RESPUESTA:

Para calcular el volumen utilizaremos el método de la arandela, tenemos que:

V = ∫ₐᵇ π·r²(x) dx

Ahora, observemos que se van a formar unos volúmenes externos y unos volúmenes interno, entonces los volúmenes internos se suman y los externos se restan. Tenemos:

V = ∫₀¹ π·(3-0)² dy + ∫₁⁵ π·(3-√(y-1))² dy - ∫₀⁵ π(3-2)² dy

Ahora, debemos resolver las integrales y realizar la evaluación:

I = ∫₀¹ π·(3-0)² dy

I = π·(9y)|₀¹

I = 9π

I = ∫₁⁵ π·(3-√(y-1))² dy

I = π∫₁⁵ 9-6√(y-1) + y-1 dy

I = π·[y²/2 + 8y - 4(y-1)^(3/2)]₁⁵

I = 12π

I = ∫₀⁵ π(3-2)² dy

I = 5π

Por tanto, el volumen será:

V = 9π + 12π - 5π

V = 16π

Por tanto, el volumen de la región es de 16π unidades cubicas de volumen.