Question

Dos masas de 3 y 5 kg están unidas por un cable que conecta a una polea (disco) de masa M = 2 kg, con un radio R = 20 cm. Ambos objetos se liberan del reposo sobre planos inclinados de 30o y 45o y se deslizan. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y las superficies de cada plano inclinado son 0.3 y 0.1 respectivamente. Calcula la velocidad final que adquieren las masas cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos. Considera el momento de inercia del disco como I = 1⁄2 MR2. Tome la g = 10 m/s2

Answer 1

RESPUESTA:

Adjunto debo un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que se están aplicando.

Inicialmente nos enfocamos en la masa m₂, realizaremos sumatorias de fuerza en el eje de movimiento.

N₂ = m₂·g·Cos(30º)

N₂ = (3kg)·(9.8m/s²)·Cos(30º)

N₂ = 25.46 N

Realizamos la sumatoria, tenemos:

T₂ - Fr - m·g·Sen(30º) = m·a

T₂ - 0.3·(25.46N) - 3kg·(9.8m/s²)·Sen(30º) = (3kg)·a

T₂ - 22.3N = 3a ...(1)

Ahora, realizamos el mismo proceso pero en la masa m₁.

N₁ = m·g·Cos(45º)

N₁ = 5 kg · 9.8 m/s²· Cos(45º)

N₁ = 36.64 N

Ahora, aplicamos una sumatoria, tenemos:

m·g·Sen(45º) - Fr - T₁ = m·a

5kg· 9.8m/s²· Sen(45º) - 0.1·(36.64N) - T₁ = 5kg·a

30.98 - T₁ = 5a ....(2)

Observemos que tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, falta una, para ello aplicaremos sumatoria de fuerza en la polea.

T₁·r - T₂r = I·α

T₁·r - T₂r = (0.5·M·r²)·α

T₁ - T₂ = 0.5·M·r·α

Ahora, por definición sabemos que:

a = α·r

T₁ - T₂ = 0.5·(2kg)·a

T₁ - T₂ = a ....(3)

Ahora con las tres ecuaciones calculamos la aceleración:

1. T₂ - 22.3N = 3a
2. 30.98 - T₁ = 5a
3. T₁ - T₂ = a

T₂ = 3a + 22.3

T₁ = 30.98 - 5a

30.98 - 5a - 3a - 22.3 = a

a = 0.964 m/s² → Aceleración

Procedemos a calcular la velocidad, tenemos que:

d = 0.5·a·t²

v = a·t

5 m = 0.5·(0.964m/s²)·t²

t = 3.22 s

V = 3.22 s · 0.964 m/s²

V = 3.10 m/s

Por tanto, la velocidad de los bloques es de 3.10 m/s.