Resolver los siguientes problemas de aplicación de las derivadas.
a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x^2) (x+ 1)
b) Dado un cilindro de volumen 12m^3, determinar sus dimensiones para que su área total incluyendo las tapas, sea mínima.
Respuestas
RESPUESTA:
Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función:
f(x) = x²·(x+1)
Procedemos a resolver la distributiva.
f(x)= x³ +x²
Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.
f'(x) = 3x² +2x
f''(x) = 6x +2
Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos:
3x² -2x = 0
x(3x+2) = 0
Tenemos dos puntos críticos:
x = 0
3x+2 = 0 → x = -2/3
Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.
f''(0) = 6·0 +2 = +2 → Positivo, es decir, un mínimo
f''(-2/3) = 6·(-2/3) -2 = -6 → Negativo, es decir, un mínimo
Buscamos la imagen de cada punto.
f( 0) = 0³ + (0)² = 0
f(-2/3) = (-2/3)³ + (-2/3)² = 4/27
Entonces, nuestros puntos son:
- MÍNIMO → (0,0)
- MÁXIMO → ( -2/3, 4/27)
El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que:
6x+2 = 0
x = -1/3
Tenemos un punto de inflexión en -1/3, buscamos la imagen
f(-1/3) = (-1/3)³ +(-1/3)² = 2/27
- PUNTO DE INFLEXIÓN → (-1/3, 2/27)
Adjunto podemos ver la gráfica.
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Para el segundo ejercicio tenemos que plantear el volumen y área de un cilindro, tenemos:
- A = 2π·r·h +2π·r²
- V = π·r²·h
Ahora, sabemos que volumen del mismo, por tanto, podemos despejar una variable, tenemos:
12 = π·r²·h
Despejamos a h, tenemos:
h = 12/(π·r²)
Ahora, sustituimos esta ecuación en el área, tenemos:
A = 2π·r·[12/(π·r²) ] +2π·r²
Simplificamos y tenemos que:
A = 24/r + 2π·r²
Derivamos respecto al radio, tenemos que:
dA/dr = -24/r² + 4π·r
Igualamos a cero, y tenemos que:
-24/r² + 4π·r = 0
Simplificamos y tenemos que:
-24 + 4π·r³ = 0
Despejamos el valor del radio.
r³ = 24/4π
r = 1.24 cm
Obtenemos la altura:
h = 12/(π·(1.24)²)
h = 2.48 cm
Por tanto, para que el área del cilindro sea mínimo debe tener un radio de 1.24 cm y una altura de 2.48 cm.
