Question

Resolver los siguientes problemas de aplicación de las derivadas.

a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x^2) (x+ 1)

b) Dado un cilindro de volumen 12m^3, determinar sus dimensiones para que su área total incluyendo las tapas, sea mínima.

Answer 1

RESPUESTA:

Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función:

f(x) = x²·(x+1)

Procedemos a resolver la distributiva.

f(x)= x³ +x²

Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.

f'(x) = 3x² +2x

f''(x) = 6x +2

Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos:

3x² -2x = 0

x(3x+2) = 0

Tenemos dos puntos críticos:

x = 0

3x+2 = 0 → x = -2/3

Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.

f''(0) = 6·0 +2 = +2 → Positivo, es decir, un mínimo

f''(-2/3) = 6·(-2/3) -2 = -6 → Negativo, es decir, un mínimo

Buscamos la imagen de cada punto.

f( 0) = 0³ + (0)² = 0

f(-2/3) = (-2/3)³ + (-2/3)² = 4/27

Entonces, nuestros puntos son:

• MÍNIMO → (0,0)
• MÁXIMO → ( -2/3, 4/27)

El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que:

6x+2 = 0

x = -1/3

Tenemos un punto de inflexión en -1/3, buscamos la imagen

f(-1/3) = (-1/3)³ +(-1/3)² = 2/27

• PUNTO DE INFLEXIÓN → (-1/3, 2/27)

Adjunto podemos ver la gráfica.

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Para el segundo ejercicio tenemos que plantear el volumen y área de un cilindro, tenemos:

• A = 2π·r·h +2π·r²
• V = π·r²·h

Ahora, sabemos que volumen del mismo, por tanto, podemos despejar una variable, tenemos:

12 = π·r²·h

Despejamos a h, tenemos:

h = 12/(π·r²)

Ahora, sustituimos esta ecuación en el área, tenemos:

A = 2π·r·[12/(π·r²) ] +2π·r²

Simplificamos y tenemos que:

A = 24/r + 2π·r²

Derivamos respecto al radio, tenemos que:

dA/dr = -24/r² + 4π·r

Igualamos a cero, y tenemos que:

-24/r² + 4π·r = 0

Simplificamos y tenemos que:

-24 + 4π·r³ = 0

Despejamos el valor del radio.

r³ = 24/4π

r = 1.24 cm

Obtenemos la altura:

h = 12/(π·(1.24)²)

h = 2.48 cm

Por tanto, para que el área del cilindro sea mínimo debe tener un radio de 1.24 cm y una altura de 2.48 cm.