Un globo alcanza una altura h perpendicular a la horizontal (horizontal = piso) y es observado por Juan, cuyo ángulo de observación es de 60°, y por Laura que se ubica a 100 m de Juan y cuyo ángulo de observación es de 30°.
¿Cuál es la altura h alcanzada por el globo? Expresar el resultado en dam y redondeado al entero.
¿Cuál es la superficie del triángulo que forma Laura con el globo? Expresar el resultado en dm2 y en notación científica.
¿Cuál es la distancia que separa a Juan del globo? Expresar el resultado en km y usar exactamente 3 decimales.
Si suponemos que el globo es inflado formando una esfera, ¿cuál es el volumen (usar pi = 3,14) del mismo si se sabe que su radio expresado en metros es raíz de 3X2 + 3X - 6? Expresar el resultado redondeado a la décima y en cm3.
¿Qué porcentaje representa el perímetro del triángulo formado por Juan y el globo con respecto al perímetro del triángulo formado por Laura y el globo? Expresar el resultado redondeado a la centésima.
¿Cuáles son los perímetros mencionados en el punto anterior?. Expresados en metros y redondeados al entero.
Respuestas
Datos:
∡1 = 60°
∡2 = 30°
dLJ = 100 m
Se formulan las siguientes relaciones a partir de la función tangente:
tg 60° = h/x
tg 30° = h/100 +x
Se despeja en cada una la altura (h)
h = (x)tg 60°
h = (x + 100 m)tg 30°
Se igualan ambas ecuaciones:
(x)tg 60° = (x + 100 m)tg 30°
(x)tg 60°/tg 30° = x + 100 m
(x)(1,7320/0,5773) = x + 100 m
3x = x + 100 m
3x – x = 100 m
2x = 100 m
X = 100 m/2 = 50 m
X = 50 m
Ahora se calcula la altura del globo con la horizontal.
h = (50 m)tg 60° = (50 m)( 1,7320) = 86,60 m
h = 86,60 m
Esta longitud expresada en Decímetros (dam) es:
1 m → 10 dam
86,60 m → x
X = (10 dam x 86,60 m) ÷ 1 m = 866 dam
h = 866 dam
¿Cuál es la superficie del triángulo que forma Laura con el globo? Expresar el resultado en dm2 y en notación científica.
La superficie o área del triángulo LMG es la multiplicación de la base por la altura dividido entre dos: (ver imagen)
Base = 100 + x = 100 m + 50 m = 150 m
h = 86,60 m
A = (150 m x86,60 m)/2 = 12.990 m²
A = 12.990 m²
¿Cuál es la distancia que separa a Juan del globo? Expresar el resultado en km y usar exactamente 3 decimales.
Se debe calcular la hipotenusa o longitud del segmento JG.
JG² = x² + h²
JG = √[(50 m)² + (86,60 m)²] = √(2.500 + 7.499,56) = √9.999,56 = 99,9977 m
JG = 99,9977 m
Expresado en kilómetros es:
JG = 0,09977 Km
Si suponemos que el globo es inflado formando una esfera, ¿cuál es el volumen (usar pi = 3,14) del mismo si se sabe que su radio expresado en metros es raíz de 3X² + 3X - 6? Expresar el resultado redondeado a la décima y en cm³.
V = 4/3 π r³
r = 3x² + 3x - 6
Se resuelve la ecuación de segundo grado
x = - (3) ± √[(3)²– 4(3)(- 6)] ÷ 2(3) = - 3 ± √(9 + 72) ÷ 6 = - 3 ± √81 ÷ 6 =- 3 ± 9 ÷ 6
Las raíces de la solución son:
X1 = =- 3 + 9 ÷ 6 = 6 ÷ 6 = 1
X1 = 1
X2 = =- 3 - 9 ÷ 6 = - 12÷ 6 = - 3
X2 = - 3
Para el valor de X = 1 que se ingresa en la fórmula del radio se tiene:
r = 3(1)² + 3(1) – 6 = 3 + 3 – 6 = 0
r = 0
r = 3(-3)² + 3(-3) – 6 = 3(9) – 9 – 6 = 27 – 9 – 6 = 12 m
r = 12 m
El volumen (V) es:
V = (4/3)(3,14)(12 m)³ = 50,24 m³
V = 50,24 m³
Expresado en centímetros cúbicos (cm³)
V = 50.240.000 cm³
¿Qué porcentaje representa el perímetro del triángulo formado por Juan y el globo con respecto al perímetro del triángulo formado por Laura y el globo? Expresar el resultado redondeado a la centésima.
El Perímetro del triángulo formado por Juan-Globo y punto m es:
P1= JG + h + x
P1 = 99,9977 m + 86,60 m+ 50 m = 236,5977 m
P1 = 236,5977 m
El Perímetro del triángulo formado por Laura-Globo-punto m es:
P2 = LG + h + 100 m + x
LG² = (x + 100 m)² + h²
LG = √[(150 m)² + (86,60 m)²] = √(22.500 + 7.499,56) = √29.999,56 = 173,2038 m
LG = 173,2038 m
P2 = 173,2038 m + 86,60 m + 150 m = 409,8038 m
P2 = 409,8038 m
Sea el perímetro 2 el 100% del área total, entonces:
409,8038 m → 100%
236,5977 m → x
X = (236,5977 m x 100%) ÷ 409,8038 m = 57,73 %
X = 57,73 %
¿Cuáles son los perímetros mencionados en el punto anterior?
P1 = 236,5977 m
P2 =409,8038 m
