Una de las aplicaciones importantes de las parábolas en la física se encuentra en la descripción de las trayectorias de objetos que siguen un curso parabólico. Objetos lanzados desde cierta altura, como guijarros, balones, proyectiles de armas de fuego, etc; describen en su movimiento una curva en forma de parábola.
El movimiento parabólico está compuesto por dos movimientos rectilíneos: uno que impulsa al objeto en la dirección horizontal x, y otro en la dirección vertical y (en un mismo instante ocurren simultáneamente ambos). Así en este tipo de movimiento el desplazamiento, puede obtenerse con las fórmulas siguientes:
Componente Horizontal Componente Vertical (caída libre)
Desplazamiento x = xo + Vxo t y = y0 + vy0 t + gt2 / 2
Velocidad Vx0 = V0 cos θ Vy0 = v0 sen θ
Aceleración a = 0 a = -g
Un jugador de béisbol batea un lanzamiento a 50 cm del piso, con un ángulo de 30° y una velocidad inicial de 45 m/seg. ¿Cuáles son la altura y distancia horizontal máximas que alcanza la pelota antes de tocar el piso?
Respuestas
RESPUESTA:
Tenemos que la pelota de béisbol es bateada con una altura inicial, por tanto, tenemos que plantear la ecuación de movimiento en el eje y y en el eje x, tenemos:
- X = X₀ + Vx·t
- Y = Y₀ + Vy·t - 0.5·g·t²
Descomponemos la velocidad inicial, tenemos que:
Vx = V·Cos(30º) = 45m/s·Cos(30º) = 45·√3/2 m/s
Vy = V·Sen(30º) = 45 m/s·Sen(30º) = 45/2 m/s
Ahora, buscamos el tiempo máximo, para ello utilizamos la ecuación en Y, tenemos:
Y = 0.50 + 22.5·t - 4.9t²
Derivamos el igualamos a cero, tenemos:
22.5 - 9.8t = 0
tmáx = 22.5/9.8 = 2.29 s
Buscamos la altura para este tiempo:
ymáx = 0.50 + 22.5·(2.29) - 4.9·(2.29)²
ymáx = 26.32 m
La altura máxima es de 23.32 metros.
El alcance máximo es cuando la altura es igual a cero, por tanto buscaremos en que tiempo pasa esto:
0 = 0.50 + 22.5·t - 4.9t²
Aplicamos resolvente:
- t₁ = 4.61
- t₂ = -0.022
Buscamos la distancia horizontal para el tiempo positivo.
Xmáx = 45·√3/2 m/s ·(4.61)
Xmáx = 179.65 m
Por tanto, el alcance máximo es de 179.65 metros.